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Claus Johansen, Sønderborg, Dänemark, 2014-11-30 -> 2020-01-14


Apollonisches Problem




Übersicht



0) Inhalt:

1) Einleitung

2) Apollonius

3) Das Problem

4) Einleitende Formulierung

5) Vorbereitung

6) Die Generelle Lösung

7) Alle Lösungen

8) Die ± Zeichen

9) Nachfolgend Bearbeitung



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1) Einleitung



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2) Apollonius

Dieses Abschnitt ist teilweise ein leicht um-arrangierte Extrakt von der Wikipedia Artikel, ergänzt mit ein entsprechend Übersetzung von den englische dito:

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Apollonios von Perge oder Apollonius Pergaeus (Altgriechisch: Άπολλώνιος) (ca. 262 v. Chr. - ca. 190 v. Chr.).

Apollonius war ein griechischer Mathematiker und Astronom, für sein Arbeit über Kegelschnitte anerkannt. Seine innovative Methoden und Terminologie, besonders innerhalb die Gebiet Kegelschnitte, hatte Einfluss auf viele spätere Wissenschaftler inklusive Klaudios Ptolemaios, Francesco Maurolico, Johannes Kepler, Isaac Newton, und René Descartes. Es war Apollonius, der die Ellipse, Parabel und Hyperbel die Namen gegeben hat, als die wir sie kennen.

In der Astronomie trug Apollonios zur Epizykeltheorie bei und zeigte deren Verbindung zur Exzenter-Theorie. Er erklärte damit die rückläufige Planetenbewegung und die Bewegung des Mondes. Ptolemäus beschreibt dieses Theorem in der Almagest XII.1.

Apollonius studierte auch der Historie des Mondes, wofür man ihm Epsilon (ε) genannt hat. Der Mondkrater Apollonius ist nach ihm benannt.

Apollonius


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3) Das Problem

Findet die bis zu 8 Kreisen der 3 gegebenen Kreise tangiert:

Fig.01
Fig. 1: Das Problem.

3.1) Kommentare

Das Apollonisches Problem war zunächst als klassische Zirkel und Lineal Problem formuliert und es gibt einige Lösungen von dieser Art. Aber hier wird nur eine einfache analytische Lösung gezeigt

Es gibt auch mehrere verschiedene analytische Lösungen. Die hier gezeigte ist auf dem Satz des Pythagoras basiert, andere verwendet der Satz des Heron oder ganz anderen Prinzipien.



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4) Einleitende Formulierung

Kurz gesagt: Für ein analytische Lösung, muss die Schüssel Eigenschaften für alle gegebene Kreisen und einer willkürliche Tangente- (Lösungs-) Kreis sein:

Der Abstand zwischen Kreis Zentren = Summe von Kreis Radien.

Wenn dieses Verhältnis sukzessiv für alle 3 gegebene Kreisen verwendet wird, führt es zu diesen 3 Gleichungen:

Wenn die 3 gegebene Kreisen als A, B und C bezeichnet wird, mit Zentrum Koordinaten (sA, tA), (sB, tB) und (sC, tC) und die Radien rA, rB und rC dann muss ein Lösung zu das Problem, einer tangierende Kreis mit Zentrum in (s0, t0) und Radius r0 diese 3 Gleichungen erfüllen:

eq.4.1   (4.1)
eq.4.2   (4.2)
eq.4.3   (4.3)

Wo "-" in der "±" Ausdruck angibt das der respektive gegebene Kreis umschreiben ist von der tangierende Kreis und vice versa.

Wenn die 3 Gleichungen quadriert werden um die etwas unhandlichen Quadratwurzeln los zu werden, werden die generelle Gleichungen so aussehen:

eq.4.4   (4.4)
eq.4.5   (4.5)
eq.4.6   (4.6)


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5) Vorbereitung

Die relative Einfachheit in diese Lösung basiert sich auf einer gut gewählten Positionierung von die 3 gegebene Kreisen in ein passende Koordinatensystem:

Fig.02 Fig.03
Fig. 2: Initiales Koordinatensystem. Fig. 3: Transformiertes Koordinatensystem.

Die Prozedur kann als eine Zwei-Schritt-Prozedur gesehen werden:

  1. Eine Rotation um die x-Achse in flucht mit zwei Kreiszentren zu bringen, hier A und B.
  2. Eine kombinierte x- und y-Translation damit die x-Achse durch zwei Kreiszentren (hier A und B) gehen und die y-Achse durch das dritte Kreiszentrum (hier C) gehen.

5.1) Rotation

Findet die Zentrum Koordinate Distanzen (A & B):

eq.5.01   (5.1)
eq.5.02   (5.2)

Findet der Rotationswinkel zu Beispiel mit:

eq.5.03   (5.3)

NB: Kontrolliert die Verwendung von der atan2-Funktion. Hier gezeigt als atan2(y, x) aber oft als atan2(x, y) definiert.

Rotiert die 3 Zentrum Koordinaten zu dem zwischenliegenden Koordinatensystem (u, v) mit den generellen Formeln:

eq.5.04   (5.4)
eq.5.05   (5.5)

5.2) Translation

Verschiebt das rotierte Koordinatensystem (u, v) so dass es durch zwei Kreiszentren geht und damit das Koordinatensystem schafft als auf fig. 3 (x, y) gezeigt. Die Größe von der Translation ist einfach gleich der Wert von zwei Zentrum Koordinaten in das rotierte Koordinatensystem (u, v):

eq.5.06   (5.6)
eq.5.07   (5.7)

Verschiebt die 3 Zentrum Koordinaten zu das gewünschte Koordinatensystem (x, y) mit die generelle Formel:

eq.5.08   (5.8)
eq.5.09   (5.9)

5.3) Wirkung

Die 3 Gleichungen aus § 4, Gleichung 4.4, 4.5 und 4.6 bekommt jetzt folgende Formulierung:

Wenn die 3 gegebene Kreisen als A, B und C bezeichnet wird, mit Zentrum Koordinaten (xA, 0), (xB, 0) und (0, yC) und die Radien rA, rB und rC dann muss ein Lösung zu das Problem, ein tangierende Kreis mit Zentrum in (x0, y0) und Radius r0 diese 3 Gleichungen erfüllen:

eq.5.10   (5.10)
eq.5.11   (5.11)
eq.5.12   (5.12)

Wenn es schließlich implizit verstanden wird, dass die Radien der gegebene Kreisen ein Vorzeichen haben kann, davon abhängig ob sie von der Tangente-Kreis umschreiben sind oder nicht, kann das etwas verwirrende ± Zeichen ausgelassen werden. Die 3 Gleichungen kann dann so geschrieben werden:

eq.5.13   (5.13)
eq.5.14   (5.14)
eq.5.15   (5.15)

Wo ein negative gegebene Kreis Radius angibt, ob der jeweilige gegebene Kreis von dem tangierenden Kreis umschreibt ist und vice versa.

Es ist die Lösung von diesen 3 Gleichungen die nachstehend gezeigt wird.

5.4) Kommentare

Die Anzahl von Konstanten in die Gleichungen wird auf diese Weise von 9 auf 6 reduziert:

Wodurch die Arbeit und die Komplexität wesentlich reduziert werden!

Es gibt 6 mögliche Wege das Koordinatensystem zu transformieren, abhängig von die Reihenfolge von die Nummerierung von die 3 gegebene Kreisen, aber die führen letztendlich alle zu dasselbe Resultat:

Fig.04
Fig. 4: Mögliche Koordinatensysteme für Transformation.


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6) Die Generelle Lösung


Lass:

eq.6.01   (6.01)
eq.6.02   (6.02)
eq.6.03   (6.03)
eq.6.04   (6.04)
eq.6.05   (6.05)
eq.6.06   (6.06)
eq.6.07   (6.07)
eq.6.08   (6.08)
eq.6.09   (6.09)
eq.6.10   (6.10)
eq.6.11   (6.11)

Und Lass:

eq.6.12   (6.12)
eq.6.13   (6.13)
eq.6.14   (6.14)
eq.6.15   (6.15)
eq.6.16   (6.16)
eq.6.17   (6.17)
eq.6.18   (6.18)
eq.6.19   (6.19)
eq.6.20   (6.20)

Dann lass:

eq.6.21   (6.21)
eq.6.22   (6.22)
eq.6.23   (6.23)

Weiter lass:

eq.6.24   (6.24)
eq.6.25   (6.25)
eq.6.26   (6.26)

Schließlich lass:

eq.6.27   (6.27)

Dann kann die generelle Lösung von das Apollonisches Problem, repräsentiert bei der Radius r0 und die Zentrum Koordinaten (x0,y0), so geschrieben werden:

eq.6.28   (6.28)
eq.6.29   (6.29)
eq.6.30   (6.30)

6.1) Kommentare

Die Formeln sind ziemlich robuste und wollen, in die meisten Fällen, Lösungen geben. Manche von die vorgeschlagene Lösungen will nicht korrekt sein und dies soll kontrolliert werden zu Beispiel bei eine Vergleichung von Der Abstand zwischen Kreis Zentren mit der Summe von Kreis Radien – ganz analog zu der Weise, in der die Einleitende Gleichungen aufgestellt wurden, vgl. Gl. 4.1 - 4.3, 4.4 - 4.6, 5.10 - 5.12 oder 5.13 - 5.15.

Die Formeln kann hantieren dass gegebene Kreisen und Tangent-Kreisen zu Punkte degeneriert, aber nicht dass sie zu gerade Linien degeneriert.

In der Ausdruck für r0 (Gl. 6.28) kann D negativ werden.

In der Ausdruck für r0 (Gl. 6.28) kann A Null werden und damit bewirken, dass der Nenner Null wird.



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7) Alle Lösungen

Die bis zu 8 Lösungen kann bei Variation von die 3 gegebenen Kreisradien A, B und C gefunden werden. Wenn der Radius positiv gerechnet wird, ist der respektive gegebene Kreis außerhalb von dem Tangent-Kreis platziert. Wenn der Radius negativ gerechnet wird, ist der respektive gegebene Kreis innerhalb von dem Tangent-Kreis platziert.

Die Lösungen, die Tangent-Kreise kann auf die folgende weise nummeriert werden:

No rA rB rC
1 + + +
2 - + +
3 + - +
4 + + -
5 + - -
6 - + -
7 - - +
8 - - -


Fig.05
Fig. 5: Transformierte Lösungen.


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8) Die ± Zeichen

Es gibt zwei ± Zeichen in die Lösung:

8.1) Das ± Zeichen in die "r" Gleichung (6.28)

Das ± Zeichen in die "r" Gleichung (6.28) hantiert Doppelt-Lösungen. Normalerweise soll das "-" Zeichen verwendet werden, aber in einige besondere fälle kann beide Lösungen korrekte sein. Ein Beispiel ist nachstehend gezeigt.

In Übereinstimmung mit die Nummerierung der in der Tabelle in der vorhergehend Abschnitt gezeigt wurde, werden diese Lösungen mit Nr. 4-, 4+, 5-, 5+ , 6-, 6+, 8- und 8+ bezeichnet:

Fig.06
Fig. 6: Transformierte Doppelt-Lösungen.

8.2) Das ± Zeichen in die "y" Gleichung (6.30)

Beide Vorzeichen können individuell korrekt sein und erscheinen mit selber Häufigkeit.



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9) Nachfolgend Bearbeitung

Wenn das Problem zu Beginn transformiert war, von ein (s, t) Koordinatensystem zu ein (x, y) Koordinatensystem, kann die Lösung zurück transformiert werden. Es ist die inverse Transformation, von die der in § 5 ”Vorbereitung” gemacht wurde und die Größen der da gefunden wurde: Δu, Δv und α wird hier wieder verwendet.

9.1) Translation

Verschiebt die Zentrum Koordinaten zurück zu dem zwischenliegende Koordinatensystem (u, v) mit der generellen Formel:

eq.9.01   (9.1)
eq.9.02   (9.2)

9.2) Rotation

Rotiert die Zentrum Koordinaten zurück zu dem Initiales Koordinatensystem (s, t) mit der generellen Formel:

eq.9.03   (9.3)
eq.9.04   (9.4)
Fig.07
Fig. 7: Die Lösung.



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