C.C. License

Claus Johansen, Sønderborg, Danmark, 2014-11-30 -> 2020-01-14


Apollonius' Problem




Oversigt



0) Indhold:

1) Indledning

2) Apollonius

3) Problemet

4) Indledende Formulering

5) Forberedelse

6) Den Generelle Løsning

7) Alle Løsninger

8) ± Tegnene

9) Efterfølgende Behandling



Top Op Ned Bund

1) Indledning



Top Op Ned Bund

2) Apollonius

Dette afsnit er delvist et let om-arrangeret ekstrakt af Wikipedia artiklen, suppleret med en tilsvarende oversættelse fra den engelske ditto:

Wikipedia, den frie encyklopædi
Wikipedia, the free encyclopedia

Apollonius af Perga eller Perge [Pergaeus] (Oldgræsk: Άπολλώνιος) (ca. 262 f.Kr. - ca. 190 f.Kr.).

Apollonius var en græsk geometer og astronom, anerkendt for sit arbejde om keglesnit. Hans innovative metoder og terminologi, specielt indenfor området keglesnit, havde indflydelse på mange senere videnskabsmand inklusive Klaudios Ptolemaios, Francesco Maurolico, Johannes Kepler, Isaac Newton, og René Descartes. Det var Apollonius, der gav ellipsen, parablen og hyperblen de navne, som vi kender dem under.

Hypoteserne om excentrisk kredsløb, eller ækvivalent, deferent og epicykel til at forklare den tilsyneladende bevægelse af planeterne og den varierende fart af månen, tilskrives også ham. Apollonius' teorem viser, at de to modeller er ækvivalente, når de rette parametre anvendes. Ptolemæus beskriver dette teorem i Almagest XII.1.

Apollonius studerede også månens historie, for hvilket han siges at være blevet kaldt Epsilon (ε). Krateret Apollonius på månen er navngivet til ære for ham.

Apollonius


Top Op Ned Bund

3) Problemet

Find de op til 8 cirkler der tangerer 3 givne cirkler:

Fig.01
Fig. 1: Problemet.

3.1) Kommentarer

Apollonius' Problem blev oprindeligt formuleret som et klassisk passer og lineal problem og der findes nogle løsninger af denne type. Men hér vises kun en simpel analytisk løsning.

Der findes også flere forskellige analytiske løsninger. Den der vises hér er baseret på Pythagoras' sætning, andre bruger Herons formel eller helt andre principper.



Top Op Ned Bund

4) Indledende Formulering

Kort sagt: For en analytisk løsning må nøgle egenskaben for alle de givne cirkler og en vilkårlig tangent-cirkel være:

Afstanden mellem cirkel centre = Sum af cirkel radier.

Når dette forhold bliver brugt successivt for alle 3 givne cirkler, fører det til disse 3 ligninger:

Hvis de 3 givne cirkler bliver betegnet med A, B og C, med centrum koordinaterne (sA, tA), (sB, tB) og (sC, tC) og radierne rA, rB og rC, så må en løsning til problemet, en tangent-cirkel med centrum i (s0, t0) og radius r0, opfylde disse 3 ligninger:

eq.4.1   (4.1)
eq.4.2   (4.2)
eq.4.3   (4.3)

Hvor "-" i "±" udtrykket indikerer, at den respektive givne cirkel er omskrevet af tangent-cirklen og vice versa.

Hvis de 3 ligninger kvadreres, for at slippe af med de noget akavede kvadratrødder, kommer de generelle ligninger til at se ud som:

eq.4.4   (4.4)
eq.4.5   (4.5)
eq.4.6   (4.6)


Top Op Ned Bund

5) Forberedelse

Den relative enkelhed i denne løsning hviler på en velvalgt positionering af de 3 givne cirkler i et passende koordinatsystem:

Fig.02 Fig.03
Fig. 2: Initialt koordinatsystemet. Fig. 3: Transformeret koordinatsystem.

Proceduren kan ses som en to trins-proces:

  1. En rotation for at få x-aksen til at flugte med to cirkel centre (her A og B).
  2. En kombineret x- og y-translation for at få x-aksen til at gå gennem to cirkel centre (her A og B) og få y-aksen til at gå gennem det tredje cirkel center (her C).

5.1) Rotation

Find centrum koordinat distancerne (A og B):

eq.5.01   (5.1)
eq.5.02   (5.2)

Find rotations-vinklen ved f.eks.:

eq.5.03   (5.3)

NB: Check brugen af atan2-funktionen. Vist her som atan2(y, x) men ofte defineret som atan2(x, y).

Roter de 3 centrum koordinater til det mellemliggende (roterede) koordinatsystem (u, v) med de generelle formler:

eq.5.04   (5.4)
eq.5.05   (5.5)

5.2) Translation

Flyt det roterede koordinatsystem (u, v) så det går igennem to cirkel centre for derved at danne koordinatsystemet som vist på fig. 3 (x, y). Translationens størrelse er simpelthen lig værdien af to cirkelcentrum koordinater in det roterede koordinatsystem (u, v)

eq.5.06   (5.6)
eq.5.07   (5.7)

Flyt de 3 centrum koordinater til det ønskede koordinatsystem (x, y) med den generelle formel:

eq.5.08   (5.8)
eq.5.09   (5.9)

5.3) Virkning

De 3 ligninger fra § 4, lign. 4.4, 4.5 og 4.6 vil nu få flg. formulering:

Når de 3 givne cirkler betegnes med A, B og C med centrum koordinaterne (xA, 0), (xB, 0) og (0, yC) og radierne rA, rB og rC, så må en løsning til problemet, en tangent-cirkel med centrum i (x0, y0) og radius r0, opfylde disse 3 ligninger:

eq.5.10   (5.10)
eq.5.11   (5.11)
eq.5.12   (5.12)

Hvis det endeligt implicit forståes, at de givne cirklernes radius kan have et fortegn, afhængigt af om de er omskrevet af tangent-cirklen eller ej, kan det noget forvirrende ± tegn udelades. De 3 ligninger kan så skrives som:

eq.5.13   (5.13)
eq.5.14   (5.14)
eq.5.15   (5.15)

Hvor en negativ radius af den givne cirkel indikerer, at den respektive givne cirkel er omskrevet af tangent-cirklen og vice versa.

Det er løsningen af disse 3 ligninger der bliver vist nedenfor.

5.4) Kommentarer

Antallet af konstanter i ligningerne reduceres på denne måde fra 9 to 6:

Hvilket reducerer arbejdet og kompleksiteten væsentligt!

Der er 6 mulige måder at transformere koordinatsystemet på, afhængigt af rækkefølgen i nummereringen af de 3 givne cirkler, men de vil i sidste ende alle føre til det samme resultat:

Fig.04
Fig. 4: Mulige koordinatsystemer for transformation.


Top Op Ned Bund

6) Den Generelle Løsning


Lad:

eq.6.01   (6.01)
eq.6.02   (6.02)
eq.6.03   (6.03)
eq.6.04   (6.04)
eq.6.05   (6.05)
eq.6.06   (6.06)
eq.6.07   (6.07)
eq.6.08   (6.08)
eq.6.09   (6.09)
eq.6.10   (6.10)
eq.6.11   (6.11)

Og lad:

eq.6.12   (6.12)
eq.6.13   (6.13)
eq.6.14   (6.14)
eq.6.15   (6.15)
eq.6.16   (6.16)
eq.6.17   (6.17)
eq.6.18   (6.18)
eq.6.19   (6.19)
eq.6.20   (6.20)

Herefter lad:

eq.6.21   (6.21)
eq.6.22   (6.22)
eq.6.23   (6.23)

Videre lad:

eq.6.24   (6.24)
eq.6.25   (6.25)
eq.6.26   (6.26)

Endelig lad:

eq.6.27   (6.27)

Så kan den generelle løsning på Apollonius' Problem, en tangent-cirkel med radius r0 og centrum koordinaterne (x0, y0) skrives som:

eq.6.28   (6.28)
eq.6.29   (6.29)
eq.6.30   (6.30)

6.1) Kommentarer

Formlerne er temmelig robuste og vil, i de fleste tilfælde, give løsninger. Nogle af de foreslåede løsninger vil ikke være korrekte og dette bør kontrolleres f.eks. ved at sammenligne centrum distancerne mellem cirklerne med radiernes sum - helt analogt til den måde, de indledende ligninger blev opstillet på, jvf. lign. 4.1 - 4.3, 4.4 - 4.6, 5.10 - 5.12 eller 5.13 - 5.15.

Formlerne kan håndtere at både de givne cirkler og tangent-cirklen degenererer til punkter, men ikke at de degenererer til rette linje.

I udtrykket for r0 (lign. 6.28) kan D blive negativ.

I udtrykket for r0 (lign. 6.28) kan A blive nul og dermed medføre, at nævneren bliver nul.



Top Op Ned Bund

7) Alle Løsninger

De op til 8 løsninger kan findes ved at variere fortegnet på de 3 givne cirklers radier A, B og C. Hvis radien regnes positiv, er den respektive givne cirkel placeret udenfor tangent-cirklen. Hvis radien regnes negativ, er den respektive givne cirkel placeret indenfor tangent-cirklen.

Løsningerne, tangent-cirklerne kan nummereres som flg.:

No rA rB rC
1 + + +
2 - + +
3 + - +
4 + + -
5 + - -
6 - + -
7 - - +
8 - - -


Fig.05
Fig. 5: Transformerede løsninger.


Top Op Ned Bund

8) ± Tegnene

Der er to ± tegn i løsningen:

8.1) ± tegnet i "r" ligningen (6.28)

± tegnet i "r" ligningen (6.28) håndterer dobbelt-løsninger. Normalt skal "-" tegnet bruges, men i nogle specielle tilfælde kan begge løsninger være korrekte. Et eksempel er vist nedenfor.

I overensstemmelse med den nummerering der blev vist i tabellen i foregående afsnit, bliver disse løsninger betegnet med nr. 4-, 4+, 5-, 5+, 6-, 6+, 8- og 8+, afhængigt af det anvendte fortegn i ”r” ligningen (6.28):

Fig.06
Fig. 6: Transformerede dobbelt-løsninger.

8.2) ± tegnet i "y" ligningen (6.30)

Begge fortegn kan individuelt være korrekte og optræder med samme hyppighed.



Top Op Ned Bund

9) Efterfølgende Behandling

Hvis problemet oprindeligt var transformeret fra et (s, t) koordinatsystem til et (x, y) koordinatsystem, kan løsningen transformeres tilbage. Det er den inverse transformation, af den der blev lavet i § 5 "Forberedelse" og de størrelser der blev fundet dér: Δu, Δv og α vil blive brugt igen hér.

9.1) Translation

Translatér centrum koordinaterne tilbage til det mellemliggende koordinatsystem (u, v) med den generelle formel:

eq.9.01   (9.1)
eq.9.02   (9.2)

9.2) Rotation

Roter centrum koordinaterne tilbage til det initiale koordinatsystem (s, t) med den generelle formel:

eq.9.03   (9.3)
eq.9.04   (9.4)
Fig.07
Fig. 7: Løsningen.



Top Op Ned Bund

Oversigt