C.C. License

Claus Johansen, Sønderborg, Danmark, 2019-01-27 -> 2020-01-14


Bestemmelse af et keglesnit ud fra to punkter og to tangenter




Oversigt



Indhold:

0) Indledning

1) Opgaven

2) Løsningen, ellipse og hyperbel separat

3) Løsningen, ellipse og hyperbel samlet

4) Løsninger opdelt i områder

5) Løsninger ved grænseværdier

6) Løsninger i intervallet 90° -> 270°




Top Op Ned Bund

0) Indledning

Kurverne som keglesnit danner (cirklen, ellipsen, parablen og hyperblen) har flere gode egenskaber, når det gælder om at modellere geometri.

Det kan være praktisk at kunne bestemme, hvilket keglesnit der forbinder to punkter, når der ønskes en bestemt hældning af kurven i de to punkter.

Der er en kontinuert, glidende overgang mellem de forskellige keglesnit: cirklen, ellipsen, parablen og hyperblen.

Når det her påståes, at man kan bestem et keglesnit ud fra to punkter og to tangenter, er det lidt af en tilsnigelse - det ene punkt skal være et toppunkt, således at centerlinien dermed er kendt.




Top Op Ned Bund

1) Opgaven

Et eksempel er vist nedenfor. Det ene punkt er placeret i origo og har dermed koordinaterne (0, 0) - dette punkt er et toppunkt og x-aksen er symmetriakse for de keglesnit der hér bestemmes. Det andet punkt er placeret i koordinaterne (h, w):

Hvor:
h ~ højden af punktets beliggenhed (=x koordinat).
w ~ bredden af punktets beliggenhed, eller den halve bredde af keglesnittet på dette sted (=y koordinat).

Fig.1.1
Fig. 1.1: Opgaven.



Top Op Ned Bund

2) Løsninger, ellipse og hyperbel separat

Formlerne blev først udledt for hver type keglesnit separat, og førte til flg. løsninger:

Nr. Ellipse Hyperbel Egenskab
1 eq.2.1   = do Hældningskoefficienten af tangenten i punktet (h, w)
2 eq.2.3.a   = do Hældningskoefficienten af radius til punktet (h, w)
3 eq.2.4.a eq.2.4.b a (hovedakse langs x-aksen)
4 eq.2.5.a eq.2.5.b Dim.løs b (hovedakse parallel med y-aksen)
5 eq.2.6   = do b (hovedakse parallel med y-aksen)

Ved nærmere eftersyn, er det let at se, at der kun er en ganske lille forskel på ligningerne i søjle 2 og 3: "Ellipse" og "Hyperbel" - det er faktisk kun et fortegnsskift der adskiller dem. Det er derfor oplagt at koge dem sammen til ét sæt af ligninger - det bliver gjort i næste afsnit.




Top Op Ned Bund

3) Løsningen, ellipse og hyperbel samlet

Først findes hældningskoefficienten:

eq.2.1   (3.1)

Dernæst findes størrelsen "d" der bestemmer keglesnittets art (den kan genkendes som en del af udtrykkene i række 2, i tabellen i foregående afsnit, hvor "τ" udregnes):

eq.2.2   (3.2)

Derefter τ:

eq.2.3   (3.3)

Hovedaksen langs x-aksen:

eq.2.4.a   (3.4)

Den dimensionsløse hovedakse parallel med y-aksen:

eq.2.5   (3.5)

Dermed bliver hovedaksen parallel med y-aksen:

eq.2.6   (3.6)

Nogle eksempler på mulige løsninger bliver vist i figuren nedenunder (i de gråt farvede områder er der ingen løsninger):

Fig.3.1
Fig. 3.1: Eksempler på løsninger.

Der er et par forbehold i denne løsning:

Disse forbehold vil blive behandlet i § 5.




Top Op Ned Bund

4) Løsninger opdelt i områder

Nedenfor gennemgåes de områder der har ensartede løsninger systematisk, hvor θ varieres fra -90° til +90°.


4.a) -90° < θ < 0°

Fig.4.1
Fig. 4.1: -90° < θ < 0°.

NB: Værdien for θ på 0° gælder kun for dette eksempel.

Ved at sammenligne ellipsens hovedakser, a og b, finder man:


4.b) 0° < θ < 26.565°

Fig.4.2
Fig. 4.2: 0° < θ < 26.565°.

NB: Værdien for θ på 26.565 gælder kun for dette eksempel, det egentlige kriterium er:
d < 0 ⇒ ellipse

Det vil fortsat være relevant, at lave en kontrol af ellipsens façon:


4.c) 26.565° < θ < 45°

Fig.4.3
Fig. 4.3: 26.565° < θ < 45°.

NB: Værdien for θ på 26.565 gælder kun for dette eksempel, det egentlige kriterium er:
d > 0 ⇒ hyperbel

Værdien for θ på 45 gælder også kun for dette eksempel, det egentlige kriterium er, at θ er mindre end vinklen på forbindelseslinien mellem de to punkter:
θ < atan(w/h).


4.d) 45° ≤ θ ≤ 90°

Der skulle ikke være nogen løsning i dette interval, men ligningern melder ikke pas, med en negativ kvadratrod eller lign. Løsningerne der kommer er hyperbler, men opfylder ikke kriteriet, om at gå gennem punkter (h, w):

Fig.4.4
Fig. 4.4: 45° ≤ θ ≤ 90°

Værdien for θ på 45 gælder kun for dette eksempel, det egentlige kriterium er, at θ er mindre end vinklen på forbindelseslinien mellem de to punkter:
θ < atan(w/h).




Top Op Ned Bund

5) Løsninger ved grænseværdier

Der var et par forbehold i denne generelle løsning, nævnt i § 3.

Formelt set, kunne man godt argumenterer for, at med den rigtige vinkel, kunne der være løsninger til problemet i form af rette linier, hvis enten h = 0 eller w = 0. Og videre kunne man argumentere for, at en ret linie blot er et udartet keglesnit - det er nok mest en kuriositet...


5.a) m = 0

Ved m = 0 bliver der divideret med 0 i lign. 3.3 og 3.4, og ligningssystemet kan ikke bruges. Løsningen er dog meget enkel.

For m = 0 er svaret simpelt hen en ellipse, med de to hovedakser h og w:

eq.5.a.1   (5.a.1)
eq.5.a.2   (5.a.2)

Med det valgte talsæt (h, w) = (1, 1) blev ellipsen til en cirkel når m = 0 og dermed θ = 0. Det var nu et rent tilfælde, nedenfor er løsningerne for m = 0 vist for talsættene (h, w) = (1, 2) og (h, w) = (2, 1):

Fig.5.a.1 Fig.5.a.2
Fig. 5.a.1: m = 0 & (h, w) = (1, 2). Fig. 5.a.2: m = 0 & (h, w) = (2, 1).

5.b) d = 0

Ved d = 0 bliver τ = 0 i lign. 3.3 og der divideres dermed med 0 i lign. 3.4, og ligningssystemet kan ikke bruges. Løsningen er dog meget enkel.

For d = 0 er svaret simpelt hen en parabel.

Ligningen for en liggende parabel kan f.eks. skrives som:

eq.5.b.1   (5.b.1)

Når man ved, at kurven skal gå gennem punktet (h, w), er det nemt at bestemme konstanten c:

eq.5.b.2   (5.b.2)

Man kan også vælge en ligning, der mere direkte giver y som funktion af x:

eq.5.b.3   (5.b.3)

Når man igen ved, at kurven skal gå gennem punktet (h, w), er det nemt at bestemme konstanten k:

eq.5.b.4   (5.b.4)
Fig.5.b
Fig. 5.b: Parablen

5.c) a = b

Der er sådan set ikke noget specielt ved tilfældet a = b - det er bare en ellipse med to lige store akser, med andre ord en cirkel. Hér kan man opfatte den som et grænsetilfælde på dén måde, at den adskiller de ellipser der står på højkant, fra dem der ligger ned.

Fig.5.c.1 Fig.5.c.2
Fig. 5.c.1: Cirklen for (h, w) = (1, 2). Fig. 5.c.2: Cirklen for (h, w) = (2, 1).



Top Op Ned Bund

6) Løsninger i intervallet 90° -> 270°

Løsninger i intervallet 90° -> 270° repeterer simpelthen de løsninger der blev fundet i intervallet -90° -> 90°. Som det er illustreret nedenfor, ændrer det ikke på det keglesnit der findes, hvis tangenterne drejes 180°:

Fig.6.1 Fig.6.2
Fig. 6.1: Tangenter -90° & 0°. Fig. 6.2: Tangenter +90° & 180°.



Top Op Ned Bund

Oversigt