Claus Johansen, Sønderborg, Danmark, 2015-12-30 -> 2020-01-14
Oversigt |
Indhold:
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Jeg stødte på denne lille øvelse i halvfjerdserne (1970-). På denne tid var computere ikke almindelige og det var underforstået, at løsningen skulle findes med simple midler, som en regnestok eller logaritmetabel. For at opmuntre "offeret", begyndte man med en let del af opgaven, inden man fortsatte med egentlige opgave - den svære del...
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Først spændes en snor stramt om jorden ved ækvator. Derefter forlænges den med én meter. Så løftes snoren til en ensartet højde over jordens overflade med en masse pinde - hvad er højden af pindene?
|
|
|
Fig. 1.1: Udgangssituationen. | Fig. 1.2: Forlængelsen. | Fig. 1.3: Spørgsmålet. |
Jorden repræsenteres af en perfekt kugle, med en omkreds på 40 000 km. Snoren er ideal, uendeligt tynd, let og strækkes ikke ved træk.
Idet:
c ~ Jordens omkreds.
Δ ~ Forlængelsen af snoren.
C ~ Omkredsen af den forlængede (og løftede) snor.
r ~ Jordens radius.
l ~ Pindenes længde.
R ~ Den forlængede (og løftede) snors radius.
|
Fig. 1.4: Parametre. |
Generelt kan forholdet mellem radius og omkredsen af en cirkel, i dette tilfælde vores gode jord, skrives som:
![]() |
(1.3.1) |
På lignende måde for den forlængede snor:
![]() |
(1.3.2) |
Den forlængede snors omkreds er lig jordens omkreds plus forlængelsen:
![]() |
(1.3.3) |
Den forlængede snors radius er lig jordens radius plus pindenes længde:
![]() |
(1.3.4) |
Substituer C og R i ligningen 1.3.2 med udtrykkene i ligningerne 1.3.3 og 1.3.4:
![]() |
(1.3.5) |
Substituer c i ligningen 1.3.5 med udtrykket i ligning 1.3.1 og ophæv parentesen til højre:
![]() |
(1.3.6) |
Udtrykket 2·π·r findes på begge sider af lighedstegnet i ligning 1.3.6 og ophæver gensidigt hinanden - tilbage bliver der derfor:
![]() |
(1.3.7) |
Divider med 2·π på begge sider af lighedstegnet for at nå til den analytiske løsning:
![]() |
(1.3.8) |
Ifølge formuleringen i § 1.1:
Δ ~ Forlængelsen af snoren.
Når denne værdi indsættes i den analytiske løsning (lign. 1.3.8) fåes:
l = Δ/(2·π) ≈ 0.159 [m] = 15.9 [cm] = 159 [mm]
Ifølge ligningen 1.3.8 indgår radius ikke i løsningen, det vil sige, at det ikke gør nogen forskel, om man bruger jorden eller en fodbold, pindene skal have den samme længde – en smule overraskende, trods alt.
Med lign. 1.3.7 kan man løse en anden variant af denne lille spøg: En lang række af personer står skulder ved skulder og løfter igen den samme snor som før, nøjagtigt én meter over jorden - hvor meget skal snoren forlænges, for at det er muligt?
Δ = 2·π·l ≈ 6.283 [m] = 628.3 [cm] = 6283 [mm]
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Først spændes en snor stramt om jorden ved ækvator. Derefter forlænges den med én meter. Så strækkes den forlængede snor med ét tårn - hvad er højden af tårnet?
|
|
|
Fig. 2.1: Udgangssituationen. | Fig. 2.2: Forlængelsen. | Fig. 2.3: Spørgsmålet. |
Jorden repræsenteres af en perfekt kugle, med en omkreds på 40 000 km. Snoren er ideal, uendeligt tynd, let og strækkes ikke ved træk.
Idet:
c ~ Jordens omkreds.
Δ ~ Forlængelsen af snoren.
r ~ Jordens radius.
h ~ Tårnets højde.
θ ~ Vinklen der svarer til én strakt del af snoren.
|
Fig. 2.4: Parametre. |
Generelt kan forholdet mellem radius og omkredsen af en cirkel, i dette tilfælde vores gode jord, skrives som:
![]() |
(2.3.1) |
Det vil sige, at når omkredsen er givet så kender man også størrelsen af radius, omarranger lign. 2.3.1:
![]() |
(2.3.2) |
Metoden, som man generelt kan bruge på geometriske problemer, er at danne to ligninger med to ubekendte ved at projicere, horisontalt og vertikalt:
|
|
|
Fig. 2.5: Horisontale projektioner. | Fig. 2.6: Vertikal "projektion", første del. | Fig. 2.7: Vertikal projektion, anden del. |
Længden af et buestykke er lig radius gange vinklen "rθ" som vist på fig. 2.5. Længden af det lige stykke af snoren, svarende til dette buestykke, skal være lig længden af buestykket plus halvdelen af forlængelsen "rθ+Δ/2" - halvdelen pga. symmetrien.
Den første ligning opnåes ved to horisontale projektioner, illustreret på fig. 2.5. Den venstre side af ligningen kommer fra den nedre del af figuren. Den højre side af ligningen kommer fra den øvre del af figuren:
![]() |
(2.3.3) |
Divider lign. 2.3.3 på hver side af lighedstegnet med cos(θ):
![]() |
(2.3.4) |
Omarranger lign. 2.3.4:
![]() |
(2.3.5) |
Omarranger lign. 2.3.5:
![]() |
(2.3.6) |
Den anden ligning opnåes ved en vertikal projektion, illustreret på fig. 2.6 og fig. 2.7. Den venstre side af ligningen kommer fra fig. 2.6 og er kun en sammenlægning af "r" og "h". Den højre side af ligningen kommer fra fig. 2.7:
![]() |
(2.3.7) |
Omarranger lign. 2.3.7:
![]() |
(2.3.8) |
Fremgangsmåden man kunne tænke sig at følge ville være først at løse lign. 2.3.6 for at finde θ og derefter bruge denne værdi i lign. 2.3.8. Der er to problemer ved denne fremgangsmåde, for det første kan man ikke finde en analytisk løsning til lign. 2.3.6 og for det andet kan man ikke iterere en numerisk løsning (med simple midler) fordi tan(θ) ≈ θ. I dag er det muligt at iterere en numerisk løsning med en computer, men det var ikke muligt i de gode gamle dage. Løsningen dengang var at antage at vinklen θ måtte være lille – og når lille er nøgleoret, er rækkeudvikling svaret. Hvis man kun medtager θ i de laveste ordner, kan de tre trigonometriske funktioner skrives som:
![]() |
(2.3.9) | |
![]() |
(2.3.10) | |
![]() |
(2.3.11) |
Substituer lign. 2.3.11 i lign. 2.3.6:
![]() |
(2.3.12) |
De to θ ophæver hinanden og tilbage bliver:
![]() |
(2.3.13) |
Omarranger lign. 2.3.13 og vi har et udtryk for θ:
![]() |
(2.3.14) |
Substituer lign. 2.3.9, lign. 2.3.10 og lign. 2.3.11 i lign. 2.3.8:
![]() |
(2.3.15) |
Ophæv parenteserne i lign. 2.3.15:
![]() |
(2.3.16) |
Hvis eller når vinklen θ er meget lille vil udtrykkene med θ i de højeste potenser reelt set være lig nul. Udtrykkene med θ4 og θ6 i lign. 2.3.16 vil forsvinde og tilbage bliver:
![]() |
(2.3.17) |
Som kan reduceres til:
![]() |
(2.3.18) |
Substituer lign. 2.3.14 i lign. 2.3.18:
![]() |
(2.3.19) |
Lign. 2.3.19 kan skrives som:
![]() |
(2.3.20) |
Omplacer radius "r" i lign. 2.3.20:
![]() |
(2.3.21) |
Reducer og omarranger lign. 2.3.21 for at komme til løsningen:
![]() |
(2.3.22) |
Strengt taget er det ikke nødvendigt først at udregne radius som vist i lign. 2.3.2 - man kan substituere denne ligning i lign. 2.3.22:
![]() |
(2.3.23) |
Reducer og omarranger lign. 2.3.23 for at komme til en alternativ formulering af løsningen:
![]() |
(2.3.24) |
På samme måde kan man finde vinklen ved at substituere lign. 2.3.2 i lign. 2.3.14:
![]() |
(2.3.25) |
Reducer og omarranger lign. 2.3.25 for at komme til alternativ formulering for vinklen:
![]() |
(2.3.26) |
Nøgle-ligningerne er:
![]() |
(2.3.2) | |
![]() |
(2.3.22) | |
![]() |
(2.3.14) |
Eller:
![]() |
(2.3.24) | |
![]() |
(2.3.26) |
Ifølge formuleringen i § 2.1 og forudsætningerne i § 2.2:
Δ = 1 [m] ~ Forlængelsen af snoren.
c = 40 000 [km] = 40 000 000 [m] ~ Jordens omkreds.
Når disse værdier indsættes i den analytiske løsning, først i lign. 2.3.2 og derefter i lign. 2.3.22 giver det:
r = c/(2·π) = 40 000 000/(2·π)
≈
6 366 197 [m] (= 6 366 [km]).
h
≈
½·
3√(9/4)·Δ2·r
≈
½·
3√(9/4)·12·6 366 197
≈
½·100·
3√(9/4)·6.366
≈
50·
3√14.324
≈
50·2.4286 ≈ 121 [m].
Eller man kan gå direkte til lign. 2.3.24, det giver så:
h ≈ ¼· 3√(9/π)·Δ2·c ≈ ¼· 3√(9/π)·12·40 000 000 ≈ ¼·100· 3√(9/π)·40 ≈ 25· 3√114.592 ≈ 25·4.8572 ≈ 121 [m].
Er vinklen θ meget lille som antaget? Brug lign. 2.3.14:
θ ≈ 3√(3·Δ)/(2·r) ≈ 3√(3·1)/(2·6 366 197) ≈ (1/100)· 3√3/(2·6,366) ≈ (1/100)· 3√0.2356 ≈ 0.006176 [-] ≈ 0.354 [°].
Eller lign. 2.3.26:
θ ≈ 3√(3·π·Δ)/c ≈ 3√(3·π·1)/40 000 000 = (1/100)· 3√3·π/40 ≈ (1/100)· 3√0.2356 ≈ 0.006176 [-] ≈ 0.354 [°].
Mindre end én grad, det er virkelig lille.
Man kan godt komme til de viste ligninger på en nemmere måde, men
skal så både tage stilling til om θ er lille og
højden er meget mindre end jordens radius, altså:
θ ~ 0 og h << r.
Den viste projektion på
fig. 2.7 kan så erstattes af r/cos(θ) og lign. 2.3.7 bliver
så:
r + h = r/cos(θ)
Sammenligner man den fundne analytiske formel, lign. 2.3.22 med en meget præcis numerisk løsning fundet ved iteration af ligning 2.3.6 fåes det sammenhæng mellem forlængelse og højde, som vises nedenfor.
Som en slags kontrol af den itererede, numeriske løsning, er flg. udtryk for højden, ved meget store forlængelser af snoren, opstillet:
![]() |
(2.5.1) |
Plottes disse 3 udtryk for højden:
fåes:
Fig. 2.5.1: Højden.
Ved at se på kurverne, må man sige, at den analytiske løsning for små forlængelser, réelt ikke er til at skelne fra den eksakte op til en forlængelse på omkring 3×1005, mens at den analytiske løsning for store forlængelser ser ud til at være meget nøjagtig over en forlængelse på ca. 3×1007. En udregning af afvigelsen siger, at det, for den analytiske løsning for små forlængelser, drejer sig om en afvigelse på 2½ % ved 23°, mens det, for den analytiske løsning for store forlængelser, drejer sig om en afvigelse på 4½ % ved 75°.
Ditto for vinklerne (her er vinklen for den analytiske løsning for store vinkler konstant lig 90°):
Fig. 2.5.2: Vinklen.
Nogle dekader på hver side af den ønskede 1 [m] forlængelse viser, hvor fint den analytiske løsning passer:
Δ [m] | h eksakt [m] | h analytisk [m] | Relativ afv. [-] | Cifre [-] |
---|---|---|---|---|
1×10-06 | 0.01214295032 | 0.01214295031 | 5.72 E-10 | 9 |
1×10-03 | 1.2142951 | 1.2142950 | 5.72 E-08 | 7 |
1 | 121.4302 | 121.4295 | 5.72 E-06 | 5 |
1×1003 | 12150. | 12143. | 0.000572 | 3 |
1×1006 | 1283593. | 1214295. | 0.0540 | 2 |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Følger...
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Oversigt |