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Claus Johansen, Sønderborg, Danemark, 2015-12-14 -> 2020-01-14


Une corde autour de la Terre




Présentation



Table des matières:

0) Préface

1) Le problème, première partie

2) Le problème, seconde partie

3) Épilogue



Som. Haut Bas Base

0) Préface

J'ai découvert ce petit exercice dans les années soixante-dix (1970-). À cette époque les ordinateurs sont rares et c'est entendu, qu’il faut trouver une solution qu'on peut résoudre avec des moyens simples comme une règle à calculer ou une table de logarithme. Pour donner du courage à la "victime", on commence avec un problème facile, mais continue avec le problème réel - le problème difficile...



Som. Haut Bas Base

1) Le problème, première partie


1.1) Formulation

D'abord une corde est tendue autour de la Terre à l'équateur. Ensuite la corde est allongée d'un mètre. Maintenant la corde allongée est soulevée uniformément par des piquets – quelle est le taille de ces piquets ?

Fig.01 Fig.02 Fig.03
Fig. 1.1: Situation initial. Fig. 1.2: Allongement. Fig. 1.3: La question.

1.2) Hypothèse

La Terre est représentée par une sphère parfaite d'une circonférence de 40 000 km. La corde est parfaite, infiniment fine, légère et ne s'allonge pas en tension.


1.3) La solution analytique

Soit:
c ~ Circonférence de la Terre.
Δ ~ Allongement de la corde.
C ~ Circonférence de la corde allongée (et soulevée).
r ~ Rayon de la Terre.
l ~ Taille de piquets.
R ~ Rayon de la corde allongée (et soulevée).

Fig.05
Fig. 1.4: Paramètres.

En générale la relation entre le rayon et la circonférence d'un cercle, dans ce cas notre bonne Terre, peut s'écrire comme:

eq.1.3.1   (1.3.1)

Similairement pour la corde allongée:

eq.1.3.2   (1.3.2)

La circonférence de la corde allongée est égale à la circonférence de la Terre plus l'allongement:

eq.1.3.3   (1.3.3)

Le rayon de la corde allongée est égal au rayon de la Terre plus la longueur des piquets:

eq.1.3.4   (1.3.4)

Substituez C et R dans équation 1.3.2 avec les expressions des équations 1.3.3 et 1.3.4:

eq.1.3.5   (1.3.5)

Substituez c dans équation 1.3.5 avec l'expression de l'équation 1.3.1 et enlevez la parenthèse à droite:

eq.1.3.6   (1.3.6)

L'expression 2·π·r se trouve à chaque côté du signe d'égalité dans équation 1.3.6 et s'enlèvent mutuellement - il reste cependant:

eq.1.3.7   (1.3.7)

Divisez par 2·π à chaque côté du signe d'égalité pour avoir la solution analytique:

eq.1.3.8   (1.3.8)

1.4) La solution numérique

Selon la formulation dans § 1.1:

Δ = 1 [m] ~ Allongement de la corde.

Quand cette valeur est utilisée dans la solution analytique (éq. 1.3.8) ça rend:

l = Δ/(2·π) ≈ 0.159 [m] = 15.9 [cm] = 159 [mm]


1.5) Commentaires

Selon équation 1.3.8 le rayon n'est pas part de la solution, c'est à dire que ça ne fait pas aucune différence, si on utilise la Terre ou un ballon de foot, les piquets ont la même taille – un peu étonnant quand même.

Avec éq. 1.3.7 on peut résoudre une autre version de cette petite plaisanterie: Une longue file de personne, épaule à épaule, soulève le même corde comme avant exactement d'un mètre - de combien faut-il l'allonger pour que ce soit possible ?

Δ = 2·π·l6.283 [m] = 628.3 [cm] = 6283 [mm]



Som. Haut Bas Base

2) Le problème, seconde partie


2.1) Formulation

D'abord une corde est tendue autour de la Terre à l'équateur. Ensuite la corde est allongée d'un mètre. Maintenant la corde allongée est tendu par une tour – quelle est la hauteur de la tour ?

Fig.01 Fig.02 Fig.03
Fig. 2.1: Situation initial. Fig. 2.2: Allongement. Fig. 2.3: La question.

2.2) Hypothèse

La Terre est représentée par une sphère parfaite d'une circonférence de 40 000 km. La corde est parfaite, infiniment fine, légère et ne s'allonge pas en tension.


2.3) La solution analytique

Soit:
c ~ Circonférence de la Terre.
Δ ~ Allongement de la corde.
r ~ Rayon de la Terre.
h ~ Hauteur du tour.
θ ~ Angle qui correspond à une section droite de la corde.

Fig.06
Fig. 2.4: Paramètres.

En général le relation entre le rayon et le circonférence d'un cercle, dans ce cas notre bonne Terre, peut s'écrire comme:

eq.1.3.1   (2.3.1)

Ça veut dire que quand la circonférence est donné on sait ainsi la valeur du rayon, réarrangez éq. 2.3.1:

eq.2.3.2   (2.3.2)

La méthode qu'on peut utiliser en général pour des problèmes géométriques est de créer deux équations à deux inconnues par des projections, horizontales et verticales:

Fig.07 Fig.08 Fig.09
Fig. 2.5: Projection horizontale. Fig. 2.6: "Projection" verticale, première partie. Fig. 2.7: Projection verticale, seconde partie.

La longueur d'un arc est égale au rayon multiplié par l'angle "rθ" comme montré à la fig. 2.5. La longueur de la partie droite de la corde correspondant à cet arc doit être égale à la longueur de l'arc plus la moitié de l'allongement "rθ+Δ/2" - la moitié par la symétrie.

La première équation est obtenu par deux projections horizontales, illustré à la fig. 2.5. La côté gauche de l'équation vient de la basse partie de la figure. La côté droite de l'équation vient de la haute partie de la figure:

eq.2.3.3   (2.3.3)

Divisez éq. 2.3.3 à chaque côté du signe d'égalité avec cos(θ):

eq.2.3.4   (2.3.4)

Réarrangez éq. 2.3.4:

eq.2.3.5   (2.3.5)

Réarrangez éq. 2.3.5:

eq.2.3.6   (2.3.6)

La seconde équation est obtenu par une projection verticale, illustrée à la fig. 2.6 et fig. 2.7. La côté gauche de l'équation vient de fig. 2.6 et est seulement une addition de "r" et "h". La côté droite de l'équation vient de fig. 2.7:

eq.2.3.7   (2.3.7)

Réarrangez éq. 2.3.7:

eq.2.3.8   (2.3.8)

La procédure à suivre peut être tout d'abord, de résoudre éq. 2.3.6 pour trouver θ et utiliser d'après cette valeur dans éq. 2.3.8. Il y a deux problèmes dans cette procédure: d'abord on ne peut pas trouver une solution analytique à la éq. 2.3.6 et puis on ne peut pas itérer une solution numérique (avec des moyens simple) parce que tan(θ) ≈ θ. Aujourd'hui c'est bien possible d'itérer une solution numérique avec un ordinateur, mais pas au bon vieux temps. La solution à cette époque est de supposer que l'angle θ soit très petit – et quand petit est le mot clef, développement limité est la réponse. Si on inclut seulement le terme avec θ dans l'ordre le plus bas, les trois fonctions trigonométriques peuvent s'écrire comme:

eq.2.3.9   (2.3.9)
eq.2.3.10   (2.3.10)
eq.2.3.11   (2.3.11)

Substituez éq. 2.3.11 dans équation 2.3.6:

eq.2.3.12   (2.3.12)

Les deux θ s'annulent et il reste:

eq.2.3.13   (2.3.13)

Réarrangez éq. 2.3.13 et nous avons une expression pour θ:

eq.2.3.14   (2.3.14)

Substituez éq. 2.3.9, éq. 2.3.10 et éq. 2.3.11 dans équation 2.3.8:

eq.2.3.15   (2.3.15)

Enlevez les parenthèses dans éq. 2.3.15:

eq.2.3.16   (2.3.16)

Si ou quand l'angle θ est très petit les termes en θ dans les ordres les plus hautes vont tendre vers zéro. Les termes en θ4 et θ6 dans éq. 2.3.16 vont disparaître et il reste:

eq.2.3.17   (2.3.17)

Qui peut être réduit à:

eq.2.3.18   (2.3.18)

Substituez éq. 2.3.14 dans éq. 2.3.18:

eq.2.3.19   (2.3.19)

Équation 2.3.19 peut être écrit comme:

eq.2.3.20   (2.3.20)

Déplacez le rayon "r" dans éq. 2.3.20:

eq.2.3.21   (2.3.21)

Réduisez et réarrangez éq. 2.3.21 pour arriver à la solution:

eq.2.3.22   (2.3.22)

Il n'est pas strictement nécessaire d'évaluer d'abord le rayon comme montré dans l'éq. 2.3.2 - on peut substituer cette équation dans éq. 2.3.22:

eq.2.3.23   (2.3.23)

Réduisez et réarrangez éq. 2.3.23 pour arriver à une formulation alternative de la solution:

eq.2.3.24   (2.3.24)

Dans la même manière on peut évaluer l'angle en substituant éq. 2.3.2 dans éq. 2.3.14:

eq.2.3.25   (2.3.25)

Réduisez et réarrangez 2.3.25 pour arriver à une formulation alternative de l'angle:

eq.2.3.26   (2.3.26)

Les équations clés sont:

eq.2.3.2   (2.3.2)
eq.2.3.22   (2.3.22)
eq.2.3.14   (2.3.14)

Ou:

eq.2.3.24   (2.3.24)
eq.2.3.26   (2.3.26)

2.4) La solution numérique

Selon la formulation au § 2.1 et l'hypothèse au § 2.2:

Δ = 1 [m] ~ Allongement de la corde.
c = 40 000 [km] = 40 000 000 [m] ~ Circonférence de la Terre.

Quand ces valeurs sont utilisées dans la solution analytique d'abord éq. 2.3.2 et puis éq. 2.3.22 ce qui donne:

r = c/(2·π) = 40 000 000/(2·π) ≈ 6 366 197 [m] (= 6 366 [km]).
h ≈ ½· 3√(9/4)·Δ2·r ≈ ½· 3√(9/4)·12·6 366 197 ≈ ½·100· 3√(9/4)·6.366 ≈ 50· 3√14.324 ≈ 50·2.4286 ≈ 121 [m].

Ou on peut aller directement à éq. 2.3.24 ce qui donne:

h ≈ ¼· 3√(9/π)·Δ2·c ≈ ¼· 3√(9/π)·12·40 000 000 ≈ ¼·100· 3√(9/π)·40 ≈ 25· 3√114.592 ≈ 25·4.8572 ≈ 121 [m].

Est θ très petit comme prévenue ? Utilisez éq. 2.3.14:

θ3√(3·Δ)/(2·r) ≈ 3√(3·1)/(2·6 366 197) ≈ (1/100)· 3√3/(2·6,366) ≈ (1/100)· 3√0.2356 ≈ 0.006176 [-] ≈ 0.354 [°].

Ou éq. 2.3.26:

θ3√(3·π·Δ)/c3√(3·π·1)/40 000 000 = (1/100)· 3√3·π/40 ≈ (1/100)· 3√0.2356 ≈ 0.006176 [-] ≈ 0.354 [°].

Moins d'un degré c'est bien petit.


2.5) Commentaires

On peut arriver à les équations montré dans une manière plus facile, mais par là il faut au même temps prendre des décisions si θ est petit et si la hauteur du tour est plus petite que le rayon de la Terre, ça veut dire:
θ ~ 0 et h << r.
Le projection montré à la figure 2.7 peut être remplacé par r/cos(θ) et éq. 2.3.7 devient:
r + h = r/cos(θ)

Si on compare l'expression analytique trouvé, éq. 2.3.22 avec une solution numérique très précise, trouvé par itération de l'équation 2.3.6 on arrive à la relation entre allongement et hauteur montré ci-dessous.

Comme un contrôle de la solution numérique itéré, on peut utiliser l'expression suivante pour des allongements très grands:

eq.2.5.1   (2.5.1)

Si on trace les 3 expressions du hauteur:

Ça donne:

h
Fig. 2.5.1: Hauteur.

À suivre...

Dito pour l'angle:

v
Fig. 2.5.2: Angle.

Quelques décennies à chaque côte du allongement demandé de 1 [m] montré combien la solution analytique est précise:

Δ [m] h eksakt [m] h analytisk [m] Relativ afv. [-] Cifre [-]
1×10-06 0.01214295032 0.01214295031 5.72 E-10 9
1×10-03 1.2142951 1.2142950 5.72 E-08 7
1 121.4302 121.4295 5.72 E-06 5
1×1003 12150. 12143. 0.000572 3
1×1006 1283593. 1214295. 0.0540 2


Som. Haut Bas Base

3) Épilogue

À suivre...





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