Claus Johansen, Sønderborg, Danemark, 2015-12-14 -> 2020-01-14
Présentation |
Table des matières:
1) Le problème, première partie
2) Le problème, seconde partie
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J'ai découvert ce petit exercice dans les années soixante-dix (1970-). À cette époque les ordinateurs sont rares et c'est entendu, qu’il faut trouver une solution qu'on peut résoudre avec des moyens simples comme une règle à calculer ou une table de logarithme. Pour donner du courage à la "victime", on commence avec un problème facile, mais continue avec le problème réel - le problème difficile...
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D'abord une corde est tendue autour de la Terre à l'équateur. Ensuite la corde est allongée d'un mètre. Maintenant la corde allongée est soulevée uniformément par des piquets – quelle est le taille de ces piquets ?
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Fig. 1.1: Situation initial. | Fig. 1.2: Allongement. | Fig. 1.3: La question. |
La Terre est représentée par une sphère parfaite d'une circonférence de 40 000 km. La corde est parfaite, infiniment fine, légère et ne s'allonge pas en tension.
Soit:
c ~ Circonférence de la Terre.
Δ ~ Allongement de la corde.
C ~ Circonférence de la corde allongée
(et soulevée).
r ~ Rayon de la Terre.
l ~ Taille de piquets.
R ~ Rayon de la corde allongée (et soulevée).
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Fig. 1.4: Paramètres. |
En générale la relation entre le rayon et la circonférence d'un cercle, dans ce cas notre bonne Terre, peut s'écrire comme:
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(1.3.1) |
Similairement pour la corde allongée:
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(1.3.2) |
La circonférence de la corde allongée est égale à la circonférence de la Terre plus l'allongement:
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(1.3.3) |
Le rayon de la corde allongée est égal au rayon de la Terre plus la longueur des piquets:
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(1.3.4) |
Substituez C et R dans équation 1.3.2 avec les expressions des équations 1.3.3 et 1.3.4:
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(1.3.5) |
Substituez c dans équation 1.3.5 avec l'expression de l'équation 1.3.1 et enlevez la parenthèse à droite:
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(1.3.6) |
L'expression 2·π·r se trouve à chaque côté du signe d'égalité dans équation 1.3.6 et s'enlèvent mutuellement - il reste cependant:
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(1.3.7) |
Divisez par 2·π à chaque côté du signe d'égalité pour avoir la solution analytique:
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(1.3.8) |
Selon la formulation dans § 1.1:
Δ = 1 [m] ~ Allongement de la corde.
Quand cette valeur est utilisée dans la solution analytique (éq. 1.3.8) ça rend:
l = Δ/(2·π) ≈ 0.159 [m] = 15.9 [cm] = 159 [mm]
Selon équation 1.3.8 le rayon n'est pas part de la solution, c'est à dire que ça ne fait pas aucune différence, si on utilise la Terre ou un ballon de foot, les piquets ont la même taille – un peu étonnant quand même.
Avec éq. 1.3.7 on peut résoudre une autre version de cette petite plaisanterie: Une longue file de personne, épaule à épaule, soulève le même corde comme avant exactement d'un mètre - de combien faut-il l'allonger pour que ce soit possible ?
Δ = 2·π·l ≈ 6.283 [m] = 628.3 [cm] = 6283 [mm]
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D'abord une corde est tendue autour de la Terre à l'équateur. Ensuite la corde est allongée d'un mètre. Maintenant la corde allongée est tendu par une tour – quelle est la hauteur de la tour ?
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Fig. 2.1: Situation initial. | Fig. 2.2: Allongement. | Fig. 2.3: La question. |
La Terre est représentée par une sphère parfaite d'une circonférence de 40 000 km. La corde est parfaite, infiniment fine, légère et ne s'allonge pas en tension.
Soit:
c ~ Circonférence de la Terre.
Δ ~ Allongement de la corde.
r ~ Rayon de la Terre.
h ~ Hauteur du tour.
θ ~ Angle qui correspond à une section droite de la corde.
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Fig. 2.4: Paramètres. |
En général le relation entre le rayon et le circonférence d'un cercle, dans ce cas notre bonne Terre, peut s'écrire comme:
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(2.3.1) |
Ça veut dire que quand la circonférence est donné on sait ainsi la valeur du rayon, réarrangez éq. 2.3.1:
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(2.3.2) |
La méthode qu'on peut utiliser en général pour des problèmes géométriques est de créer deux équations à deux inconnues par des projections, horizontales et verticales:
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Fig. 2.5: Projection horizontale. | Fig. 2.6: "Projection" verticale, première partie. | Fig. 2.7: Projection verticale, seconde partie. |
La longueur d'un arc est égale au rayon multiplié par l'angle "rθ" comme montré à la fig. 2.5. La longueur de la partie droite de la corde correspondant à cet arc doit être égale à la longueur de l'arc plus la moitié de l'allongement "rθ+Δ/2" - la moitié par la symétrie.
La première équation est obtenu par deux projections horizontales, illustré à la fig. 2.5. La côté gauche de l'équation vient de la basse partie de la figure. La côté droite de l'équation vient de la haute partie de la figure:
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(2.3.3) |
Divisez éq. 2.3.3 à chaque côté du signe d'égalité avec cos(θ):
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(2.3.4) |
Réarrangez éq. 2.3.4:
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(2.3.5) |
Réarrangez éq. 2.3.5:
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(2.3.6) |
La seconde équation est obtenu par une projection verticale, illustrée à la fig. 2.6 et fig. 2.7. La côté gauche de l'équation vient de fig. 2.6 et est seulement une addition de "r" et "h". La côté droite de l'équation vient de fig. 2.7:
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(2.3.7) |
Réarrangez éq. 2.3.7:
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(2.3.8) |
La procédure à suivre peut être tout d'abord, de résoudre éq. 2.3.6 pour trouver θ et utiliser d'après cette valeur dans éq. 2.3.8. Il y a deux problèmes dans cette procédure: d'abord on ne peut pas trouver une solution analytique à la éq. 2.3.6 et puis on ne peut pas itérer une solution numérique (avec des moyens simple) parce que tan(θ) ≈ θ. Aujourd'hui c'est bien possible d'itérer une solution numérique avec un ordinateur, mais pas au bon vieux temps. La solution à cette époque est de supposer que l'angle θ soit très petit – et quand petit est le mot clef, développement limité est la réponse. Si on inclut seulement le terme avec θ dans l'ordre le plus bas, les trois fonctions trigonométriques peuvent s'écrire comme:
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(2.3.9) | |
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(2.3.10) | |
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(2.3.11) |
Substituez éq. 2.3.11 dans équation 2.3.6:
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(2.3.12) |
Les deux θ s'annulent et il reste:
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(2.3.13) |
Réarrangez éq. 2.3.13 et nous avons une expression pour θ:
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(2.3.14) |
Substituez éq. 2.3.9, éq. 2.3.10 et éq. 2.3.11 dans équation 2.3.8:
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(2.3.15) |
Enlevez les parenthèses dans éq. 2.3.15:
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(2.3.16) |
Si ou quand l'angle θ est très petit les termes en θ dans les ordres les plus hautes vont tendre vers zéro. Les termes en θ4 et θ6 dans éq. 2.3.16 vont disparaître et il reste:
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(2.3.17) |
Qui peut être réduit à:
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(2.3.18) |
Substituez éq. 2.3.14 dans éq. 2.3.18:
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(2.3.19) |
Équation 2.3.19 peut être écrit comme:
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(2.3.20) |
Déplacez le rayon "r" dans éq. 2.3.20:
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(2.3.21) |
Réduisez et réarrangez éq. 2.3.21 pour arriver à la solution:
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(2.3.22) |
Il n'est pas strictement nécessaire d'évaluer d'abord le rayon comme montré dans l'éq. 2.3.2 - on peut substituer cette équation dans éq. 2.3.22:
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(2.3.23) |
Réduisez et réarrangez éq. 2.3.23 pour arriver à une formulation alternative de la solution:
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(2.3.24) |
Dans la même manière on peut évaluer l'angle en substituant éq. 2.3.2 dans éq. 2.3.14:
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(2.3.25) |
Réduisez et réarrangez 2.3.25 pour arriver à une formulation alternative de l'angle:
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(2.3.26) |
Les équations clés sont:
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(2.3.2) | |
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(2.3.22) | |
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(2.3.14) |
Ou:
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(2.3.24) | |
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(2.3.26) |
Selon la formulation au § 2.1 et l'hypothèse au § 2.2:
Δ = 1 [m] ~ Allongement de la corde.
c = 40 000 [km] = 40 000 000 [m] ~ Circonférence de la
Terre.
Quand ces valeurs sont utilisées dans la solution analytique d'abord éq. 2.3.2 et puis éq. 2.3.22 ce qui donne:
r = c/(2·π) = 40 000 000/(2·π)
≈
6 366 197 [m] (= 6 366 [km]).
h
≈
½·
3√(9/4)·Δ2·r
≈
½·
3√(9/4)·12·6 366 197
≈
½·100·
3√(9/4)·6.366
≈
50·
3√14.324
≈
50·2.4286 ≈ 121 [m].
Ou on peut aller directement à éq. 2.3.24 ce qui donne:
h ≈ ¼· 3√(9/π)·Δ2·c ≈ ¼· 3√(9/π)·12·40 000 000 ≈ ¼·100· 3√(9/π)·40 ≈ 25· 3√114.592 ≈ 25·4.8572 ≈ 121 [m].
Est θ très petit comme prévenue ? Utilisez éq. 2.3.14:
θ ≈ 3√(3·Δ)/(2·r) ≈ 3√(3·1)/(2·6 366 197) ≈ (1/100)· 3√3/(2·6,366) ≈ (1/100)· 3√0.2356 ≈ 0.006176 [-] ≈ 0.354 [°].
Ou éq. 2.3.26:
θ ≈ 3√(3·π·Δ)/c ≈ 3√(3·π·1)/40 000 000 = (1/100)· 3√3·π/40 ≈ (1/100)· 3√0.2356 ≈ 0.006176 [-] ≈ 0.354 [°].
Moins d'un degré c'est bien petit.
On peut arriver à les équations montré dans une
manière plus facile, mais par là il faut au même temps prendre
des décisions si θ est petit et si la hauteur du tour est plus
petite que le rayon de la Terre, ça veut dire:
θ ~ 0 et h << r.
Le projection montré à la figure 2.7 peut être
remplacé par r/cos(θ) et éq. 2.3.7 devient:
r + h = r/cos(θ)
Si on compare l'expression analytique trouvé, éq. 2.3.22 avec une solution numérique très précise, trouvé par itération de l'équation 2.3.6 on arrive à la relation entre allongement et hauteur montré ci-dessous.
Comme un contrôle de la solution numérique itéré, on peut utiliser l'expression suivante pour des allongements très grands:
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(2.5.1) |
Si on trace les 3 expressions du hauteur:
Ça donne:
Fig. 2.5.1: Hauteur.
À suivre...
Dito pour l'angle:
Fig. 2.5.2: Angle.
Quelques décennies à chaque côte du allongement demandé de 1 [m] montré combien la solution analytique est précise:
Δ [m] | h eksakt [m] | h analytisk [m] | Relativ afv. [-] | Cifre [-] |
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1×10-06 | 0.01214295032 | 0.01214295031 | 5.72 E-10 | 9 |
1×10-03 | 1.2142951 | 1.2142950 | 5.72 E-08 | 7 |
1 | 121.4302 | 121.4295 | 5.72 E-06 | 5 |
1×1003 | 12150. | 12143. | 0.000572 | 3 |
1×1006 | 1283593. | 1214295. | 0.0540 | 2 |
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À suivre...
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