C.C. License

Claus Johansen, Sønderborg, Danmark, 2015-09-15 -> 2020-06-15


Torsion som en termisk analogi i FEM




Oversigt



0) Indhold:

1) Indledning

2) Analogien

3) Et simpelt "lærebogs" eksempel, given drejning

4) Bestemmelse af (reaktions) momentet

5) Find spændingen ved et givet moment

6) Mangefold symmetri

7) Hule profiler, eks. 1, ingen symmetri anvendt

8) Hule profiler, eks. 2, nogen symmetri anvendt




Top Up Down Bot.

1) Indledning

At behandle torsion som en termisk analogi kan give voldsomme reduktioner i problem størrelse, i op til 3 trin:

Metoden er sjældent beskrevet i FEM og da oftest ikke i dybden. F.eks. bruges drejning pr. enheds længde som input, men normalt er det momentet, der kendes, ikke drejningen - og i de tilfælde hvor drejningen kendes, vil der stadig blive spurgt om det tilsvarende moment. Hvordan kan der drages fordel af mangefold symmetri? Hvordan skal huller/hule profiler behandles? Disse problemer vil blive behandlet i det følgende.

Basis for § 3: "Et simpelt "lærebogs" eksempel, given drejning" er en ANSYS® manual. Al FEM bliver lavet med ANSYS® FEM programmet - i "Classic/APDL" versionen.

De analytiske værdier er alle udregnet med formlerne i: ROARK "Formulas for Stress and Strain".




Top Op Ned Bund

2) Analogien

Jeg fandt først analogien i en ANSYS® manual, men den kan også findes forskellige steder på Internettet.

Forskydningsspændingen ved torsion kan beregnes som varmeledning, ved simpelthen at lave bogstavombytning. årsagen er, at det grundliggende er den samme differentialligning der beskriver fænomenerne:

Varmeledning: Eq.1   (1)
Torsion: Eq.2   (2)

Analogien er herefter:

Varmeledning Torsion
3a ~ Temperatur     3b ~ Spændingsfunktion
4a ~ (½) Varmeudvikling pr. masse-enhed     4b ~ Drejning pr. længde-enhed
5a ~ Reciprok varmeledningsevne     5b ~ Forskydnings-modulet
6a ~ Temperaturgradient X-retn.     6b ~ Forskydningsspænding yz
7a ~ (negativ) Temperaturgradient Y-retn.     7b ~ Forskydningsspænding xz

Analogien dækker også fænomener som: Elektrostatik, membraner under tryk (sæbefilm), sivning (permeabilitet) gennem et poprøst medium, ideal strømning (ingen rotation), etc.



Top Op Ned Bund

3) Et simpelt "lærebogs" eksempel, given drejning

Løsningen til dette eksempel er, som jeg fandt den i en ANSYS® manual, men tilsvarende beskrivelser kan findes forskellige steder på Internettet.

Der er ingen vanskeligheder i dette eksempel, den eneste moderate forhindring kan være at definere mareriale-egenskabe og drejning pr. længde-enhed, når den totale drejning er kendt for den fysiske struktur.

Nedenfor er trinnene i en typisk analyse: Geometri, materiale, valg af element-type, element-inddeling, understøtning, belastning og resultatbehandling.


3.1) Geometri

Et tværsnit i stangen er en massiv, kvart cirkel, radius ~ længden af de lige sider er 10 mm. Her er geometrien af tværsnittet repræsenteret ved et plot af arealet:

fig.3.1.1
Fig. 3.1.1: Geometri.


3.2) Materiale

Den eneste materialeegenskab, der er brug for, er varmeledningsevnen. Ifølge analogien, som beskrevet i § 2, er varmeledningsevnen "K" simpelthen det reciprokke forskydningsmodul "G".

K = 1/G

Hvis værdien af forskydningsmodulet ikke kendes, kan elasticitetsmodulet sammen med Poissons forhold bruges som udgangspunkt. Dette burde føre til konsistente resultater, hvis der sammenlignes med 3-D modeller.

G = E/(2(1+ν))

I et tilfælde med stål og enheder i N and mm, vil værdierne typisk være:

E = 205.e+3 [N/mm2].

ν = 0.3 [-].

G = E/(2(1+ν)) = 205.e+3/(2(1+0.3)) = 78846. [N/mm2].

K = 1/G = 1/78846 = 0.1268292683E-04


3.3) Element-type

Element-typen skal helst være et termisk 2-D element. I ANSYS® er disse element-typer nr. 55 eller 77. Nr. 55 er et trekantet element og nr. 77 er et firkantet element.


3.4) Elementinddeling

I dette eksempel er arealet inddelt med det firkantede element, nr 77 - ANSYS® laver et rigtigt godt arbejde med at inddele med firkanter i 2-D, så hvorfor ikke bruge dette element, hvor det er muligt, da det generelt er bedre/mere effektivt end trekanter.

fig.3.4.1
Fig. 3.4.1: Elementinddeling.

Den viste elementinddeling, med element-type nr. 77, har 3229 elementer, 9910 knudepunkter and derved også 9910 frihedsgrader. Selvom det er en relativt fin elementinddeling, er det stadig en lille model.


3.5) Understøtning

Understøtningen består simpelthen i at definere en temperatur på nul langs den ydre rand af tværsnittet.

fig.3.5.1
Fig. 3.5.1: Understøtning.

Antallet af aktive frihedsgrader bliver reduceret moderat (til 9460), gennem understøtningen, med det er nok uden betydning.


3.6) Belastning

Antag en fysisk stang, med det tidligere beskrevne tværsnit, og med en længde på en meter og med en påtrykt vridning på 10°.

De naturlige trin i at finde vridningen pr. enheds længde er:

Vridningen i radian - konverter vinkeldrejningen i grader til radian:
θr = θ°·π/180 = 10·π/180 = 0.1745329252 [-].

Vridningen pr. enheds længde - Tværsnittet er modelleret i millimeter så længden skal konverteres til mm og så bliver drejningen pr. mm:
θ = θr/1000 = 0.1745329252/1000 = 0.1745329252E-03 [1/mm].

Varmeudviklingen pr. masseenhed - ifølge analogien, som beskrevet i § 2, er varmeudviklingen pr. masseenhed "q" simpelthen to gange drejningen pr. længdeenhed:
q = 2·θ = 2·0.1745329252E-03 = 0.3490658504E-03.

Varmeudviklingen er jævnt fordelt (konstant) over tværsnittet:

fig.3.6.1
Fig. 3.6.1: Belastning.


3.7) Resultatbehandling

Et plot af temperaturen viser "formen" af potentialet:

fig.3.7.1
Fig. 3.7.1: Potentialet "temperatur".

Et plot af den termiske gradient viser forskydningsspændingen:

fig.3.7.2
Fig. 3.7.2: Forskydningsspændingen "termiske gradient".

Den maksimale forskydningsspænding kan endeligt konverteres til en referencespænding ved det traditionelt brugte sammenhæng, i dette tilfælde:
σ = τ·√3 = 82.26887512·√3 = 142.4938716 ~ 142. [N/mm2].



Top Op Ned Bund

4) Bestemmelse af (reaktions) momentet

Gennem mit lange virke som ingeniør er jeg aldrig stødt på et tilfælde, hvor spændingerne alene var søgt som funktion af drejningen. Problemet var i det mindste altid fulgt af spørgsmålet om det tilsvarende moment?

I et tilfælde som "lærebogs" eksemplet i det foregående afsnit, hvor geometrien ikke naturligt er modelleret omkring det geometriske centrum af tværsnittet, tyngdepunktet, skal der dannes et lokalt koordinatsystem i denne position.

I Pre-processoren, find koordinaterne af det geometriske centrum, tyngdepunktet, med kommandoerne:

 asum                                 ! sum area properties.
 *get,name,area,,cent,x $ xc= name    ! x-pos. of mass centre.
 *get,name,area,,cent,y $ yc= name    ! y-pos. of mass centre. 

Herefter, lav et lokalt koordinatsystem i denne position - det er en kæmpe fordel, hvis dette lokale koordinatsystem er cylindrisk (polært), som vist her:

 csys,0 $ dsys,0
 local,11,1,xc,yc,0                   ! local coord.sys. at CoG.
 csys,0 $ dsys,0 

Et plot med det lokale koordinatsystem indikeret med nummeret "11":

fig.4.1
Fig. 4.1: Det lokale koordinatsystem i tyngdepunktet.

Momentet bliver beregnet med de faciliteter der er i "etable" kommandoen, principperne er skitseret nedenfor:

fig.4.2
Fig. 4.2: Bestemmelse af momentet.

Den procedure der udføres i kommandoerne nedenfor kan beskrives som:

Kommandoerne er:

 csys,11 $ dsys,11 $ rsys,11          ! cyl. coord. sys. at centre of mass.
 etable,rcen,cent,x                   ! element centre radius.
 etable,tauy,tg,x                     ! therm. gradient, radial component.
 etable,area,volu                     ! volume (depth == 1) eq. area.
 smult,df,area,tauy                   ! tangential force pr. element.
 smult,dt,df,rcen                     ! torque pr. element.
 ssum                                 ! all etable values are summed up.
 *get,name,ssum,dt                    ! torque from sum to parametre "name".
 torq= -name                          ! torque in the shaft. 

Den radiale (X-retn.) termiske gradient der svarer til den tangentiale (Y-retn.) forskydningsspænding, som bruges i proceduren ovenfor, ser sådan ud:

fig.4.3
Fig. 4.3: Radiale termiske gradient ~ tangentiale forskydningsspænding.

I "lærebogs" eksemplet beregnes det moment der svarer til vinkel-drejningen på 10° af den 1000 [mm] lange stålstang med et ¼ cirkelsegment med radius 10 [mm] til [Nmm]:

 PARAMETER TORQ =     11329.10468 

Stivheden af stangen, eller mere præcist, stivheden af en enhedslængde af stangen, kan nu udregnes. Den generelle formel er:

θr = (TL)/(KG)

Hvor:
T ~ Moment.
L ~ Længde.
K ~ Stivhed.
G ~ Forskydningsmodul.

Ved at om-arrangere den generelle formel, kan K findes til at være:

K = (TL)/(θrG) = T/(θG)

I dette "lærebogs" eksempel er stivheden "det effektive torsions inertimoment" af stangen med ¼ cirkelsegment med radius 10 [mm] udregnet til [mm4]:

 PARAMETER KEFF =     823.2613159 

Dette afsnit "Bestemmelse af (reaktions) momentet" er essentielt for praktisk brug af analogien, og ikke kun for at være af akademisk interesse. Det giver også mulighed for sammenligning med analytiske formler - stivhed og spændinger ved et givet moment. Jeg vil i det følgende vise et eksempel på, hvordan problemet kan løses, når momentet er kendt og spændinger og udbøjning er de ønskede resultster. Dette repræsenterer for mig en typisk procedure i et torsions-problem.



Top Op Ned Bund

5) Find spændingen ved et givet moment

Geometrien er som i det første eksempel, § 3, og proceduren for at finde det tilsvarende moment er som beskrevet i § 4, men da det hér er momentet, ikke vridningen, der er kendt, fordrer det en to-trins analyse. Jeg vil beskrive det helt fra bunden igen:


5.1) Geometri

Et tværsnit i stangen er en massiv, kvart cirkel, radius ~ længden af de lige sider er 10 mm. Her er geometrien af tværsnittet repræsenteret ved et plot af arealet:

fig.5.1.1
Fig. 5.1.1: Geometri.


5.2) Materiale

Den eneste materialeegenskab, der er brug for, er varmeledningsevnen. Ifølge analogien, som beskrevet i § 2, er varmeledningsevnen "K" simpelthen det reciprokke forskydningsmodul "G".

K = 1/G

Hvis værdien af forskydningsmodulet ikke kendes, kan elasticitetsmodulet sammen med Poissons forhold bruges som udgangspunkt. Dette burde føre til konsistente resultater, hvis der sammenlignes med 3-D modeller.

G = E/(2(1+ν))

I et tilfælde med stål og enheder i N and mm, vil værdierne typisk være:

E = 205.e+3 [N/mm2].

ν = 0.3 [-].

G = E/(2(1+ν)) = (205.e+3)/(2(1+0.3)) = 78846. [N/mm2].

K = 1/G = 1/78846 = 0.1268292683E-04

Hvis K er defineret til denne værdi i ANSYS®, så vil output vise:

 PARAMETER K =    0.1268292683E-04 

Så er kommandoen for varmeledningsevne:

 mp,kxx,1,k 

Så vil output vise:

 MATERIAL         1     KXX  =  0.1268293E-04 

5.3) Elementinddeling

I dette eksempel er arealet inddelt med det firkantede element, nr 77 - ANSYS® laver et rigtigt godt arbejde med at inddele med firkanter i 2-D, så hvorfor ikke bruge dette element, hvor det er muligt, da det generelt er bedre/mere effektivt end trekanter.

fig.5.3.1
Fig. 5.3.1: Elementinddeling.

Den viste elementinddeling, med element-type nr. 77, har 3229 elementer, 9910 knudepunkter and derved også 9910 frihedsgrader. Selvom det er en relativt fin elementinddeling, er det stadig en lille model.


5.4) Forberedelse til belastnings- og moment-beregning

Inden pre-processoren forlades kan vi lige så godt forberede belastnings- og moment-beregning ved at bruge "asum" kommandoen og ekstrahere det polære inertimoment (om tyngdepunktet) og positionen af tyngdepunktet, og placere et lokalt koordinatsystem for beregning af (reaktions-) moment her:

 asum                                 ! sum area properties.
 *get,name,area,,imc,z  $ ip= name    ! polar moment of inertia.
 *get,name,area,,cent,x $ xc= name    ! x-pos. of mass centre.
 *get,name,area,,cent,y $ yc= name    ! x-pos. of mass centre. 

Og outputtet viser:

 PRINT GEOMETRY ITEMS ASSOCIATED WITH THE CURRENTLY SELECTED AREAS

 *** NOTE ***                            CP =       0.687   TIME= 22:12:13
 Density not associated with all selected areas.  Geometry items are     
 based on a unit density.                                                

  TOTAL NUMBER OF AREAS SELECTED =      1  (OUT OF      1 DEFINED)

  TOTAL SURFACE AREA OF ALL SELECTED AREAS =   78.540    

  TOTAL VOLUME OF ALL SELECTED AREAS =   78.540    

  CENTER OF MASS:  XC=  4.2441      YC=  4.2441      ZC=  0.0000    

                    *** MOMENTS OF INERTIA ***
          (BASED ON A UNIT DENSITY AND A UNIT THICKNESS)

        ABOUT ORIGIN     ABOUT CENTER OF MASS    PRINCIPAL
    IXX =    1963.5            548.78            713.49    
    IYY =    1963.5            548.78            384.07    
    IZZ =    3927.0            1097.6            1097.6    
    IXY =   -1250.0            164.71    
    IYZ =    0.0000            0.0000    
    IZX =    0.0000            0.0000    

    PRINCIPAL ORIENTATION VECTORS (X,Y,Z):
      0.707  0.707  0.000   -0.707  0.707  0.000    0.000  0.000  1.000
      (THXY=   45.000  THYZ=    0.000  THZX=    0.000)

 *GET  NAME      FROM  AREA  ITEM=IMC  Z     VALUE=  1097.56639    

 PARAMETER IP =     1097.566392    

 *GET  NAME      FROM  AREA  ITEM=CENT X     VALUE=  4.24413177    

 PARAMETER XC =     4.244131767    

 *GET  NAME      FROM  AREA  ITEM=CENT Y     VALUE=  4.24413177    

 PARAMETER YC =     4.244131767    

Herefter, lav et lokalt koordinatsystem i denne position - det er en kæmpe fordel, hvis dette lokale koordinatsystem er cylindrisk (polært), som vist her:

 csys,0 $ dsys,0
 local,11,1,xc,yc,0                   ! local coord.sys. at CoG.
 csys,0 $ dsys,0 

Og outputtet viser:

 ACTIVE COORDINATE SYSTEM SET TO      0  (CARTESIAN)  

 DISPLAY COORDINATE SYSTEM SET TO      0  (CARTESIAN)  

 COORDINATE SYSTEM     11 DEFINITION.  TYPE= 1  (CYLINDRICAL)
   XC,YC,ZC=  4.2441      4.2441      0.0000    
   ANGLES=    0.00    0.00    0.00   PARAMETERS=   1.000   1.000
   ORIENTATION=  1.00  0.00  0.00   0.00  1.00  0.00   0.00  0.00  1.00

 ACTIVE COORDINATE SYSTEM SET TO     11  (CYLINDRICAL)

 ACTIVE COORDINATE SYSTEM SET TO      0  (CARTESIAN)  

 DISPLAY COORDINATE SYSTEM SET TO      0  (CARTESIAN)   

Et plot med det lokale koordinatsystem indikeret med nummeret "11":

fig.5.4.1
Fig. 5.4.1: Det lokale koordinatsystem i tyngdepunktet.


5.5) Understøtning

Understøtningen består simpelthen i at definere en temperatur på nul langs den ydre rand af tværsnittet.

fig.5.5.1
Fig. 5.5.1: Understøtning.

Antallet af aktive frihedsgrader bliver reduceret moderat (til 9460) gennem understøtningen, med det er nok uden betydning.


5.6) Indledende belastning

Lad momentet være 1.e+4 = 10 000 [Nmm].

Da formlen for vridningen af en cirkulær stang er:

θr = (TL)/(IpG)

Hvor:
T ~ Moment.
L ~ Længde.
Ip ~ Polært inertimoment.
G ~ Forskydningsmodul.

Så er udtrykket for vridningen af en cirkulær stang pr. enheds længde:

θ = T/(IpG)

Med:
T = 1.e+4 = 10000. [Nmm]. Det givne moment.
Ip = 1098. [mm4]. Polære inertimoment som beskrevet i § 5.4.
G = 78846. [N/mm2]. Forskydningsmodulet af stål, som beskrevet i § 5.2.

Det første gæt på vridningen af stangen er det samme, som hvis stangen var cirkulær - dette er ikke tilfældet, men det giver et første gæt som giver fysisk mening og en værdi der har en rimelig værdi. Alternativt kunne en enhedsværdi bruges. I den sidste ende skulle det ikke gøre nogen forskel, da den indledende belastning senere bliver skaleret så det endelige resultat bliver rigtigt.

Værdierne nedenfor er kun første gæt og bliver betegnet med indeks 1.

Vridningen af en cirkulær stål stang pr. enhedslængde er:

θ1 = 10000/(1098·78846) = 0.1155549853E-03 [1/mm].

Varmeudviklingen pr. enheds masse - ifølge analogien, som beskrevet i § 2, er varmeudviklingen pr. enheds masse "q" simpelthen to gange vridningen:

q1 = 2·θ1 = 2·0.1155549853E-03 = 0.2311099705E-03

Varmeudviklingen er jævnt fordelt over tværsnittet:

fig.5.6.1
Fig. 5.6.1: Indledende belastning.


5.7) Bestemmelse af det indledende (reaktions) momentet

Fremgangsmåden er beskrevet grundigt i § 4.

Løs problemet og gå til post-processoren. Kommandoerne er:

 csys,11 $ dsys,11 $ rsys,11          ! cyl. coord. sys. at centre of mass.
 etable,rcen,cent,x                   ! element centre radius.
 etable,tauy,tg,x                     ! therm. gradient, radial component.
 etable,area,volu                     ! volume (depth == 1) eq. area.
 smult,df,area,tauy                   ! tangential force pr. element.
 smult,dt,df,rcen                     ! torque pr. element.
 ssum                                 ! all etable values are summed up.
 *get,name,ssum,dt                    ! torque from sum to parametre "name".
 torq1= -name                         ! torque in the shaft. 

Den radiale (X-retn.) termiske gradient svarende til den tangentiale (Y-retn.) forskydningsspænding, der bruges i operationerne ovenfor, ser således ud:

fig.5.7.1
Fig. 5.7.1: Radiale termiske gradient ~ tangentiale forskydningsspænding.

Og outputtet viser:

 ACTIVE COORDINATE SYSTEM SET TO     11  (CYLINDRICAL)

 DISPLAY COORDINATE SYSTEM SET TO     11  (CYLINDRICAL)

 RSYS KEY SET TO  11

 USE COORDINATE SYSTEM  11 FOR SOLUTION RESULTS

 STORE RCEN     FROM ITEM=CENT COMP=X     FOR ALL SELECTED ELEMENTS

 STORE TAUY     FROM ITEM=TG   COMP=X     FOR ALL SELECTED ELEMENTS

 STORE AREA     FROM ITEM=VOLU  FOR ALL SELECTED ELEMENTS

 OPERATION SMUL  RESULT= DF        OPERAND1= AREA      OPERAND2= TAUY    
  FACTOR1=  1.0000       FACTOR2=  1.0000       CONSTANT=  0.0000    

 OPERATION SMUL  RESULT= DT        OPERAND1= DF        OPERAND2= RCEN    
  FACTOR1=  1.0000       FACTOR2=  1.0000       CONSTANT=  0.0000    

 SUM ALL THE ACTIVE ENTRIES IN THE ELEMENT TABLE 

 TABLE LABEL     TOTAL
 RCEN       11400.5    
 TAUY      -85239.0    
 AREA       78.5398    
 DF        -2029.54    
 DT        -7500.79    

 *GET  NAME      AS  SSUM       DT         VALUE= -7500.788    

 PARAMETER TORQ1 =     7500.788304    

Med det indledende gæt på vridningen opnåede vi et moment på 7 501 [Nmm] men 10 000 [Nmm] var ønsket.


5.8) Endelige belastning

Vend tilbage til solution-modulet og lav en ny analyse med den endelige belastning.

For at finde den endelige vridning skal den indledende vridning skaleres for at kompensere for afvigelsen på momentet. Opnået 7 501 [Nmm], ønsket 10 000 [Nmm]:

θ2 = θ1·10000/7501 = 0.1155549853E-03·10000/7501 = 0.1540571212E-03 [1/mm].

Varmeudviklingen pr. masseenhed - ifølge analogien, som beskrevet i § 2, er varmeudviklingen pr. masseenhed "q" simpelthen to gange drejningen pr. længdeenhed:

q2 = 2·θ2 = 2·0.1540571212E-03 = 0.3081142423E-03.

Varmeudviklingen er jævnt fordelt (konstant) over tværsnittet:

fig.5.8.1
Fig. 5.8.1: Endelig belastning.


5.9) Bestemmelse af det endelige (reaktions) momentet

Fremgangsmåden er beskrevet grundigt i § 4.

Løs problemet og gå til post-processoren. Kommandoerne er:

 csys,11 $ dsys,11 $ rsys,11          ! cyl. coord. sys. at centre of mass.
 etable,rcen,cent,x                   ! element centre radius.
 etable,tauy,tg,x                     ! therm. gradient, radial component.
 etable,area,volu                     ! volume (depth == 1) eq. area.
 smult,df,area,tauy                   ! tangential force pr. element.
 smult,dt,df,rcen                     ! torque pr. element.
 ssum                                 ! all etable values are summed up.
 *get,name,ssum,dt                    ! torque from sum to parametre "name".
 torq2= -name                         ! torque in the shaft. 

Den radiale (X-retn.) termiske gradient svarende til den tangentiale (Y-retn.) forskydningsspænding, der bruges i operationerne ovenfor, ser således ud:

fig.5.9.1
Fig. 5.9.1: Radiale termiske gradient ~ tangentiale forskydningsspænding.

Og outputtet viser:

 ACTIVE COORDINATE SYSTEM SET TO     11  (CYLINDRICAL)

 DISPLAY COORDINATE SYSTEM SET TO     11  (CYLINDRICAL)

 RSYS KEY SET TO  11

 USE COORDINATE SYSTEM  11 FOR SOLUTION RESULTS

 STORE RCEN     FROM ITEM=CENT COMP=X     FOR ALL SELECTED ELEMENTS

 STORE TAUY     FROM ITEM=TG   COMP=X     FOR ALL SELECTED ELEMENTS

 STORE AREA     FROM ITEM=VOLU  FOR ALL SELECTED ELEMENTS

 OPERATION SMUL  RESULT= DF        OPERAND1= AREA      OPERAND2= TAUY    
  FACTOR1=  1.0000       FACTOR2=  1.0000       CONSTANT=  0.0000    

 OPERATION SMUL  RESULT= DT        OPERAND1= DF        OPERAND2= RCEN    
  FACTOR1=  1.0000       FACTOR2=  1.0000       CONSTANT=  0.0000    

 SUM ALL THE ACTIVE ENTRIES IN THE ELEMENT TABLE 

 TABLE LABEL     TOTAL
 RCEN       11400.5    
 TAUY      -113640.    
 AREA       78.5398    
 DF        -2705.77    
 DT        -10000.0    

 *GET  NAME      AS  SSUM       DT         VALUE= -10000.00    

 PARAMETER TORQ2 =     9999.999996    

Med det endelige gæt på vridningen er det opnåede moment lige i øjet!


5.10) Stivheden af stangen

Med den generelle formel for vridningen af en stang:

θr = (TL)/(KG)

Hvor:
T ~ Moment.
L ~ Længde.
Ip ~ Polært inertimoment.
G ~ Forskydningsmodul.

Ved at om-arrangere den generelle formel kan K findes til:

K = (TL)/(θrG) = T/(θG)

I dette eksempel er stivheden "det effektive torsions inertimoment" af stangen med ¼ cirkelsegment med radius 10 [mm] udregnet til:

K = T/(θG) = 10000/(0.1540571212E-03·78846) = 823.261 [mm4]

Den analytiske løsning giver K = 824.156 [mm4] i god overensstemmelse med FEM værdien.


5.11) Spændinger

Et plot af temperaturen viser "formen" af potentialet:

fig.5.11.1
Fig. 5.11.1: Potentialet "temperatur".

Et plot af den termiske gradient viser forskydningsspændingen:

fig.5.11.2
Fig. 5.11.2: Forskydningsspændingen "termisk gradient".

Max. forskydningsspænding kan aflæses til: τ = 72.61728 ~ 73. [N/mm2].

Den max. forskydningsspænding kan endeligt konverteres til en ækivalent spænding med det traditionelt brugte sammenhæng, i dette tilfælde:
σ = τ·√3 = 72.61728·√3 = 125.7768168 ~ 126. [N/mm2].

Den analytiske løsning giver τ = 72.6546181092 [N/mm2] i god overensstemmelse med FEM værdien.

Iterationen eller rettere, skalerings-proceduren kan vises som:

Størrelse Symbol Indledende Endelig Formel
Indledende stivhed Ip 1097.57
Drejning pr. enheds længde θ 0.115555 E-3 0.154057 E-3
Varmeudvikling pr. enheds masse Q 0.231110 E-3 0.308114 E-3
Moment T 7500.78 10000.0 10000.0
Max. forskydningsspænding τ 54.4687 72.6173 72.6546
Stivhed Keff 823.261 823.261 824.156


Top Op Ned Bund

6) Mangefold symmetri

For at illustrere metoden har jeg valgt den noget specielle façon på en lige stang med et tværsnit som en ligesidet trekant, fordi der er en god analytisk løsning på dette tilfælde.


6.1) Geometri

Gennem symmetrien er der 3 "tænder" (n=3), men da en tand også har en symmetrilinie giver det yderligere en 2 fold symmetri. FEM modellen vil derfor kun bestå af: ½ "tand", hvilket giver den en 3·2 = 6 fold symmetri:

Dimension: a = 10 [mm].

fig.6.1.1
Fig. 6.1.1: Geometri.

Et plot af arealet som det er modelleret i ANSYS®:

fig.6.1.2
Fig. 6.1.2: Areal.


6.2) Materialeegenskaber

Den eneste materialeegenskab, der er brug for, er varmeledningsevnen. Ifølge analogien, som beskrevet i § 2, er varmeledningsevnen "K" simpelthen det reciprokke forskydningsmodul "G".

K = 1/G

Hvis værdien af forskydningsmodulet ikke kendes, kan elasticitetsmodulet sammen med Poissons forhold bruges som udgangspunkt. Dette burde føre til konsistente resultater, hvis der sammenlignes med 3-D modeller.

G = E/(2(1+ν))

I et tilfælde med stål og enheder i N and mm, vil værdierne typisk være:

E = 205.e+3 [N/mm2].

ν = 0.3 [-].

G = E/(2(1+ν)) = (205.e+3)/(2(1+0.3)) = 78846. [N/mm2].

K = 1/G = 1/78846 = 0.1268292683E-04

Hvis K er defineret til denne værdi i ANSYS®, så vil output vise:

 PARAMETER K =    0.1268292683E-04 

Så er kommandoen for varmeledningsevne:

 mp,kxx,1,k 

Så vil output vise:

 MATERIAL         1     KXX  =  0.1268293E-04 

6.3) Elementinddeling

I dette eksempel er arealet inddelt med det firkantede element, nr 77 - ANSYS® laver et rigtigt godt arbejde med at inddele med firkanter i 2-D, så hvorfor ikke bruge dette element, hvor det er muligt, da det generelt er bedre/mere effektivt end trekanter.

fig.6.3.1
Fig. 6.3.1: Elementinddeling.

Den viste elementinddeling, med element-type nr. 77, har 1703 elementer, 5310 knudepunkter and derved også 5310 frihedsgrader. Selvom det er en relativt fin elementinddeling, er det stadig en lille model.


6.4) Forberedelse til belastnings- og moment-beregning

Inden pre-processoren forlades kan vi lige så godt forberede belastnings- og moment-beregning ved at bruge "asum" kommandoen og ekstrahere det polære inertimoment. Det er naturligt, og antaget hér, at geometrien er modelleret sådan, centrum af den fulde geometri er anbragt i centrum af det globale koordinatsystem. "fold" = 6:

 asum                                 ! sum area properties.
 *get,name,area,,ior,z                ! 1/6 polar moment of inertia.
 ip= name*fold                        ! total polar moment of inertia. 

Og outputtet viser:

 PRINT GEOMETRY ITEMS ASSOCIATED WITH THE CURRENTLY SELECTED AREAS

 *** NOTE ***                            CP =       0.688   TIME= 23:32:39
 Density not associated with all selected areas.  Geometry items are     
 based on a unit density.                                                

   TOTAL NUMBER OF AREAS SELECTED =      1  (OUT OF      1 DEFINED)

   TOTAL SURFACE AREA OF ALL SELECTED AREAS =   7.2169    

   TOTAL VOLUME OF ALL SELECTED AREAS =   7.2169    

   CENTER OF MASS:  XC=  2.4056      YC= 0.83333      ZC=  0.0000    

                     *** MOMENTS OF INERTIA ***
           (BASED ON A UNIT DENSITY AND A UNIT THICKNESS)

         ABOUT ORIGIN     ABOUT CENTER OF MASS    PRINCIPAL
     IXX =    7.5176            2.5059            2.2624    
     IYY =    52.623            10.859            11.102    
     IZZ =    60.141            13.365            13.365    
     IXY =   -13.021            1.4468    
     IYZ =    0.0000            0.0000    
     IZX =    0.0000            0.0000    

     PRINCIPAL ORIENTATION VECTORS (X,Y,Z):
       0.986 -0.166  0.000    0.166  0.986  0.000    0.000  0.000  1.000
       (THXY=   -9.553  THYZ=    0.000  THZX=    0.000)

 *GET  NAME      FROM  AREA  ITEM=IOR  Z     VALUE=  60.1406530    

 PARAMETER IP =     360.8439182    

6.5) Understøtning

Understøtningen består simpelthen i at definere en temperatur på nul langs den ydre rand af tværsnittet. Der er kun denne ene linie på en ydre rand, de to andre linier er interne symmetrilinier:

fig.6.5.1
Fig. 6.5.1: Understøtning.

Antallet af aktive frihedsgrader bliver reduceret moderat (til 5159) gennem understøtningen, med det er nok uden betydning.


6.6) Indledende belastning

Lad momentet være 1.e+4 = 10 000 [Nmm].

Da formlen for vridningen af en cirkulær stang er:

θr = (TL)/(IpG)

Hvor:
T ~ Moment.
L ~ Længde.
Ip ~ Polært inertimoment.
G ~ Forskydningsmodul.

Så er udtrykket for vridningen af en cirkulær stang pr. enheds længde:

θ = T/(IpG)

Med:
T = 1.e+4 = 10000. [Nmm]. Det givne moment.
Ip = 360.844 [mm4]. Polære inertimoment som beskrevet i § 6.4.
G = 78846. [N/mm2]. Forskydningsmodulet af stål, som beskrevet i § 6.2.

Det første gæt på vridningen af stangen er det samme, som hvis stangen var cirkulær - dette er ikke tilfældet, men det giver et første gæt som giver fysisk mening og en værdi der har en rimelig værdi. Alternativt kunne en enhedsværdi bruges. I den sidste ende skulle det ikke gøre nogen forskel, da den indledende belastning senere bliver skaleret så det endelige resultat bliver rigtigt.

Værdierne nedenfor er kun første gæt og bliver betegnet med indeks 1.

Vridningen af en cirkulær stål stang pr. enhedslængde er:

θ1 = 10000/(360.844·78846) = 0.3514795785E-03 [1/mm].

Varmeudviklingen pr. enheds masse - ifølge analogien, som beskrevet i § 2, er varmeudviklingen pr. enheds masse "q" simpelthen to gange vridningen:

q1 = 2·θ1 = 2·0.3514795785E-03 = 0.7029591570E-03

Varmeudviklingen er jævnt fordelt over tværsnittet:

fig.6.6.1
Fig. 6.6.1: Indledende belastning.


6.7) Bestemmelse af det indledende (reaktions) momentet

Fremgangsmåden er beskrevet grundigt i § 4. Koordinatsystemet for beregningerne er nu nr. 1 - globalt cylindrisk koordinatsystem i centrum af den fulde geometri.

Løs problemet og gå til post-processoren. Kommandoerne er, (fold = 6):

 csys,1 $ dsys,1 $ rsys,1        ! cyl. coord. sys. at centre.
 etable,rcen,cent,x              ! element centre radius.
 etable,tauy,tg,x                ! therm. gradient, radial component.
 etable,area,volu                ! volue (depth == 1) eq. area.
 smult,df,area,tauy              ! tangential force pr. element.
 smult,dt,df,rcen                ! torque pr. element.
 ssum                            ! all etable values are summed up.
 *get,name,ssum,dt               ! torque from sum into parametre "name".
 torq1= -name*fold               ! torque for the whole shaft. 

Den radiale (X-retn.) termiske gradient svarende til den tangentiale (Y-retn.) forskydningsspænding, der bruges i operationerne ovenfor, ser således ud:

fig.6.7.1
Fig. 6.7.1: Radiale termiske gradient ~ tangentiale forskydningsspænding.

Og outputtet viser:

 ACTIVE COORDINATE SYSTEM SET TO      1  (CYLINDRICAL) Z- CYL. AXIS

 DISPLAY COORDINATE SYSTEM SET TO      1  (CYLINDRICAL)

 RSYS KEY SET TO   1

 USE COORDINATE SYSTEM   1 FOR SOLUTION RESULTS

 STORE RCEN     FROM ITEM=CENT COMP=X     FOR ALL SELECTED ELEMENTS

 STORE TAUY     FROM ITEM=TG   COMP=X     FOR ALL SELECTED ELEMENTS

 STORE AREA     FROM ITEM=VOLU  FOR ALL SELECTED ELEMENTS

 OPERATION SMUL  RESULT= DF        OPERAND1= AREA      OPERAND2= TAUY    
  FACTOR1=  1.0000       FACTOR2=  1.0000       CONSTANT=  0.0000    

 OPERATION SMUL  RESULT= DT        OPERAND1= DF        OPERAND2= RCEN    
  FACTOR1=  1.0000       FACTOR2=  1.0000       CONSTANT=  0.0000    

 SUM ALL THE ACTIVE ENTRIES IN THE ELEMENT TABLE 

 TABLE LABEL     TOTAL
 RCEN       4528.24    
 TAUY      -87181.9    
 AREA       7.21688    
 DF        -372.637    
 DT        -1000.08    

 *GET  NAME      AS  SSUM       DT         VALUE= -1000.077    

 PARAMETER TORQ1 =     6000.461938    

Med det indledende gæt på vridningen opnåede vi et moment på 6 000 [Nmm] men 10 000 [Nmm]var ønsket.


6.8) Endelige belastning

Vend tilbage til solution-modulet og lav en ny analyse med den endelige belastning.

For at finde den endelige vridning skal den indledende vridning skaleres for at kompensere for afvigelsen på momentet. Opnået 6 000 [Nmm], ønsket 10 000 [Nmm]:

θ2 = θ1·10000/6 000 = 0.3514795785E-03·10000/6000 = 0.5857542005E-03 [1/mm].

Varmeudviklingen pr. masseenhed - ifølge analogien, som beskrevet i § 2, er varmeudviklingen pr. masseenhed "q" simpelthen to gange drejningen pr. længdeenhed:

q2 = 2·θ2 = 2·0.5857542005E-03 = 0.1171508401E-02.

Varmeudviklingen er jævnt fordelt (konstant) over tværsnittet:

fig.6.8.1
Fig. 6.8.1: Endelig belastning.


6.9) Bestemmelse af det endelige (reaktions) momentet

Fremgangsmåden er beskrevet grundigt i § 4.

Løs problemet og gå til post-processoren. Kommandoerne er (fold = 6 ):

 csys,1 $ dsys,1 $ rsys,1             ! cyl. coord. sys. at centre.
 etable,rcen,cent,x                   ! element centre radius.
 etable,tauy,tg,x                     ! therm. gradient, radial component.
 etable,area,volu                     ! volue (depth == 1) eq. area.
 smult,df,area,tauy                   ! tangential force pr. element.
 smult,dm,df,rcen                     ! torque pr. element.
 ssum                                 ! all etable values are summed up.
 *get,name,ssum,dt                    ! torque from sum into parametre "name".
 torq2= -name*fold                    ! torque for the whole shaft. 

Den radiale (X-retn.) termiske gradient svarende til den tangentiale (Y-retn.) forskydningsspænding, der bruges i operationerne ovenfor, ser således ud:

fig.6.9.1
Fig. 6.9.1: Radiale termiske gradient ~ tangentiale forskydningsspænding.

Og outputtet viser:

 ACTIVE COORDINATE SYSTEM SET TO      1  (CYLINDRICAL) Z- CYL. AXIS

 DISPLAY COORDINATE SYSTEM SET TO      1  (CYLINDRICAL)

 RSYS KEY SET TO   1

 USE COORDINATE SYSTEM   1 FOR SOLUTION RESULTS

 STORE RCEN     FROM ITEM=CENT COMP=X     FOR ALL SELECTED ELEMENTS

 STORE TAUY     FROM ITEM=TG   COMP=X     FOR ALL SELECTED ELEMENTS

 STORE AREA     FROM ITEM=VOLU  FOR ALL SELECTED ELEMENTS

 OPERATION SMUL  RESULT= DF        OPERAND1= AREA      OPERAND2= TAUY    
  FACTOR1=  1.0000       FACTOR2=  1.0000       CONSTANT=  0.0000    

 OPERATION SMUL  RESULT= DT        OPERAND1= DF        OPERAND2= RCEN    
  FACTOR1=  1.0000       FACTOR2=  1.0000       CONSTANT=  0.0000    

 SUM ALL THE ACTIVE ENTRIES IN THE ELEMENT TABLE 

 TABLE LABEL     TOTAL
 RCEN       4528.24    
 TAUY      -145292.    
 AREA       7.21688    
 DF        -621.013    
 DT        -1666.67    

 *GET  NAME      AS  SSUM       DT         VALUE= -1666.667    

 PARAMETER TORQ2 =     9999.999997    

Med det endelige gæt på vridningen er det opnåede moment lige i øjet!


6.10) Stivheden af stangen

Med den generelle formel for vridningen af en stang:

θr = (TL)/(KG)

Hvor:
T ~ Moment.
L ~ Længde.
K ~ Stivhed.
G ~ Forskydningsmodul.

Ved at om-arrangere den generelle formel kan K findes til:

K = (TL)/(θrG) = T/(θG)

I dette eksempel er stivheden "det effektive torsions inertimoment" af stangen med et tværsnit som en ligesidet trekent med sidelængden 10 [mm] udregnet til [mm4]:

K = T/(θG) = 10000/(0.5857542005E-03·78846) = 216.523 [mm4]

Den analytiske løsning giver K = 216.506 [mm4] i god overensstemmelse med FEM værdien.


6.11) Spændinger

Et plot af temperaturen viser "formen" af potentialet:

fig.6.11.1
Fig. 6.11.1: Potentialet "temperatur".

Et plot af den termiske gradient viser forskydningsspændingen:

fig.6.11.2
Fig. 6.11.2: Forskydningsspændingen "termisk gradient".

Max. forskydningsspænding kan aflæses til: τ = 199.9824 ~ 200. [N/mm2].

Den max. forskydningsspænding kan endeligt konverteres til en ækivalent spænding med det traditionelt brugte sammenhæng, i dette tilfælde:
σ = τ·√3 = 199.9824·√3 = 346.3797036 ~ 346. [N/mm2].

Den analytiske løsning giver τ = 200. [N/mm2] i meget god overensstemmelse med FEM værdien.

Spændingsplottet kan endeligt ekspanderes grafisk i ANSYS®, kommandoen der blev brugt hér er:

 /expand,fold,polar,half,0,(360/fold),0 

Spændingsplottet af det fulde tværsnit i stangen vil så se ud som:

fig.6.11.3
Fig. 6.11.3: Forskydningsspændingen, fuldt tværsnit "termisk gradient".

Iterationen eller rettere, skalerings-proceduren kan vises som:

Property Symbol Initial Final Formula
Initial stiffness Ip 360.844
Twist pr. unit length θ 0.351480 E-03 0.585754 E-03
Heat generation pr. unit mass Q 0.702959 E-03 0.117151 E-02
Torque T 6000.46 10000.0 10000.0
Max shear stress τ 119.999 199.982 200.000
Stiffness Keff 216.523 216.523 216.506


Top Op Ned Bund

7) Hule profiler, eks. 1, ingen symmetri anvendt

Til at illustrere metoden har jeg valgt det noget specielle tilfælde i form af en lige stang med et tværsnit som en cirkel med et excentrisk cirkulært hul, fordi der findes en god analytisk løsning til dette tilfælde. Symmetrien bliver ikke udnyttet til at reducere modellens størrelse.


7.1) Geometri

Diameteren af stangen er 4 [mm] og hullet har en diameter på 2 [mm]. Hullet er anbragt 0.5 [mm] excentrisk i forhold til stangens centrum.

Et plot af arealerne som de er modelleret i ANSYS®. Både den solide del af stangen og hullet er modelleret - hullet skal elementinddeles, så det er nødvendigt også at modellere dette (argumentet herfor i § 7.5):

fig.7.1.1
Fig. 7.1.1: Arealer.


7.2) Materialeegenskaber

Den eneste materialeegenskab, der er brug for, er varmeledningsevnen. Ifølge analogien, som beskrevet i § 2, er varmeledningsevnen "K" simpelthen det reciprokke forskydningsmodul "G".

K = 1/G

Hvis værdien af forskydningsmodulet ikke kendes, kan elasticitetsmodulet sammen med Poissons forhold bruges som udgangspunkt. Dette burde føre til konsistente resultater, hvis der sammenlignes med 3-D modeller.

G = E/(2(1+ν))

I et tilfælde med stål og enheder i N and mm, vil værdierne typisk være:

E = 205.e+3 [N/mm2].

ν = 0.3 [-].

G = E/(2(1+ν)) = (205.e+3)/(2(1+0.3)) = 78846. [N/mm2].

K = 1/G = 1/78846 = 0.1268292683E-04

Hvis K er defineret til denne værdi i ANSYS®, så vil output vise:

 PARAMETER K =    0.1268292683E-04 

Så er kommandoen for varmeledningsevne:

 mp,kxx,1,k 

Så vil output vise:

 MATERIAL         1     KXX  =  0.1268293E-04 

7.3) Elementinddeling

I dette eksempel er arealerne inddelt med det firkantede element, nr 77 - ANSYS® laver et rigtigt godt arbejde med at inddele med firkanter i 2-D, så hvorfor ikke bruge dette element, hvor det er muligt, da det generelt er bedre/mere effektivt end trekanter. Hullet er også modelleret og det skal også elementinddeles (argumentet herfor i § 7.5):

fig.7.3.1
Fig. 7.3.1: Elementinddeling.

Den viste elementinddeling, med element-type nr. 77, har 3540 elementer, 10719 knudepunkter and derved også 10719 frihedsgrader. Selvom det er en relativt fin elementinddeling, er det stadig en lille model.


7.4) Forberedelse til belastnings- og moment-beregning

Inden pre-processoren forlades kan vi lige så godt forberede belastnings- og moment-beregning ved at bruge "asum" kommandoen og ekstrahere det polære inertimoment (om tyngdepunktet) og positionen af tyngdepunktet, og placere et lokalt koordinatsystem for beregning af (reaktions-) moment her:

 asel,s,area,,1,4
 asum                               ! sum area properties.
 *get,name,area,,imc,z  $ ip= name  ! polar moment of inertia.
 *get,name,area,,cent,x $ xc= name  ! x-pos. of mass centre. 

Og outputtet viser:

 PRINT GEOMETRY ITEMS ASSOCIATED WITH THE CURRENTLY SELECTED AREAS

 *** NOTE ***                            CP =       0.687   TIME= 22:12:13
 Density not associated with all selected areas.  Geometry items are     
 based on a unit density.                                                

   TOTAL NUMBER OF AREAS SELECTED =      4  (OUT OF      5 DEFINED)

   TOTAL SURFACE AREA OF ALL SELECTED AREAS =   9.4248    

   TOTAL VOLUME OF ALL SELECTED AREAS =   9.4248    

   CENTER OF MASS:  XC=-0.16667      YC=-0.91025E-09  ZC=  0.0000    

                     *** MOMENTS OF INERTIA ***
           (BASED ON A UNIT DENSITY AND A UNIT THICKNESS)

         ABOUT ORIGIN     ABOUT CENTER OF MASS    PRINCIPAL
     IXX =    11.781            11.781            11.781    
     IYY =    10.996            10.734            10.734    
     IZZ =    22.776            22.515            22.515    
     IXY =   0.58166E-05       0.58180E-05
     IYZ =    0.0000            0.0000    
     IZX =    0.0000            0.0000    

     PRINCIPAL ORIENTATION VECTORS (X,Y,Z):
       1.000  0.000  0.000    0.000  1.000  0.000    0.000  0.000  1.000
       (THXY=    0.000  THYZ=    0.000  THZX=    0.000)

 *GET  NAME      FROM  AREA  ITEM=IMC  Z     VALUE=  22.5146694    

 PARAMETER IP =     22.51466935    

 *GET  NAME      FROM  AREA  ITEM=CENT X     VALUE=-0.166666669    

 PARAMETER XC =   -0.1666666686    

Herefter, lav et lokalt koordinatsystem i denne position - det er en kæmpe fordel, hvis dette lokale koordinatsystem er cylindrisk (polært), som vist her:

 csys,0 $ dsys,0
 local,12,1,xc,0,0                    ! local coord.sys. at CoG.
 csys,0 $ dsys,0 

Og outputtet viser:

 ACTIVE COORDINATE SYSTEM SET TO      0  (CARTESIAN)  

 DISPLAY COORDINATE SYSTEM SET TO      0  (CARTESIAN)  

 COORDINATE SYSTEM     12 DEFINITION.  TYPE= 1  (CYLINDRICAL)
   XC,YC,ZC=-0.16667      0.0000      0.0000    
   ANGLES=    0.00    0.00    0.00   PARAMETERS=   1.000   1.000
   ORIENTATION=  1.00  0.00  0.00   0.00  1.00  0.00   0.00  0.00  1.00

 ACTIVE COORDINATE SYSTEM SET TO     12  (CYLINDRICAL)

 ACTIVE COORDINATE SYSTEM SET TO      0  (CARTESIAN)  

Centrum af stangens ydre rand er det globale koordinatsystem, markeret med "XYZ". Centrum af hullet er det lokale koordinatsystem nr. 11, til højre. Tyngdepunktet af den solide del af stangen er det lokale koordinatsystem nr. 12, til venstre:

fig.7.4.1
Fig. 7.4.1: Det lokale koordinatsystem i tyngdepunktet.


7.5) Definition af hullets randbetingelse

Mens vi stadig er i pre-procesoren, defineres hullets randbetingelse. Det fremgår af formelsamlingen, at foruden den termiske analogi, kan en sæbefilms- (eller membran-) analogi anvendes. Sæbefilmen spænder over et hul med stangens ydre kontur og udsættes for en trykforskel. Højden af boblen der dannes svarer til potentialet og gradienten til spændingen. Hullet i stangen kan så blive repræsenteret af en tynd wire, der er bukket til samme form som hullet og som "flyder" i en konstant højde i sæbefilmen. Dette forklarer, hvorfor hullet skal modelleres, elementinddeles og belastes - for ellers ville der være et hul i sæbefilmen. I den termiske analogi må dette svare til at alle knuderne på hullets rand har det samme potentiale eller temperatur, derfor skal temperaturen kobles sammen for alle disse knuder:

fig.7.5.1
Fig. 7.5.1: Koblede frihedsgrader (temperatur).


7.6) Understøtning

Understøtningen består simpelthen i at definere en temperatur på nul langs den ydre rand af tværsnittet.

fig.7.6.1
Fig. 7.6.1: Understøtning (og koblede frihedsgrader).

Antallet af aktive frihedsgrader bliver gennem understøtningen, og den foregående kobling af frihedsgrader, reduceret moderat (til 10320), men det er nok uden betydning.


7.7) Indledende belastning

Lad momentet være 1.e+3 = 1 000 [Nmm].

Da formlen for vridningen af en cirkulær stang er:

θr = (TL)/(IpG)

Hvor:
T ~ Moment.
L ~ Længde.
Ip ~ Polært inertimoment.
G ~ Forskydningsmodul.

Så er udtrykket for vridningen af en cirkulær stang pr. enheds længde:

θ = T/(IpG)

Med:
T = 1.e+3 = 1000. [Nmm]. Det givne moment.
Ip = 22.5147 [mm4]. Polære inertimoment som beskrevet i § 7.4.
G = 78846. [N/mm2]. Forskydningsmodulet af stål, som beskrevet i § 7.2.

Det første gæt på vridningen af stangen er det samme, som hvis stangen var cirkulær - dette er ikke tilfældet, men det giver et første gæt som giver fysisk mening og en værdi der har en rimelig værdi. Alternativt kunne en enhedsværdi bruges. I den sidste ende skulle det ikke gøre nogen forskel, da den indledende belastning senere bliver skaleret så det endelige resultat bliver rigtigt.

Værdierne nedenfor er kun første gæt og bliver betegnet med indeks 1.

Vridningen af en cirkulær stål stang pr. enhedslængde er:

θ1 = 1000/(22.5147·78846) = 0.5633183695E-03 [1/mm].

Varmeudviklingen pr. enheds masse - ifølge analogien, som beskrevet i § 2, er varmeudviklingen pr. enheds masse "q" simpelthen to gange vridningen:

q1 = 2·θ1 = 2·0.5633183695E-03 = 0.1126636739E-02

Varmeudviklingen er jævnt fordelt over tværsnittet (konstant), inkl. hullet:

fig.7.7.1
Fig. 7.7.1: Indledende belastning.


7.8) Bestemmelse af det indledende (reaktions) momentet

Fremgangsmåden er beskrevet grundigt i § 4.

Løs problemet og gå til post-processoren.

Det er det indledende (reaktions) momentet, i den solide del af tværsnittet, der skal findes, derfor udvælges disse elementer. Det er den termiske gradient i den radiale (X) retning der bruges:

fig.7.8.1
Fig. 7.8.1: Indledende radiale gradient.

Kommandoerne er:

 csys,12 $ dsys,12 $ rsys,12          ! cyl. coord. sys. at centre of mass.
 etable,rcen,cent,x                   ! element centre radius.
 etable,tauy,tg,x                     ! therm. gradient, radial component.
 etable,area,volu                     ! volue (depth == 1) eq. area.
 smult,df,area,tauy                   ! tangential force pr. element.
 smult,dt,df,rcen                     ! torque pr. element.
 ssum                                 ! all etable values are summed up.
 *get,name,ssum,dt                    ! torque from sum to parametre "name".
 trq1= -name                          ! torque in the shaft. 

Og outputtet viser:

 ACTIVE COORDINATE SYSTEM SET TO     12  (CYLINDRICAL)

 DISPLAY COORDINATE SYSTEM SET TO     12  (CYLINDRICAL)

 RSYS KEY SET TO  12

 USE COORDINATE SYSTEM  12 FOR SOLUTION RESULTS

 STORE RCEN     FROM ITEM=CENT COMP=X     FOR ALL SELECTED ELEMENTS

 STORE TAUY     FROM ITEM=TG   COMP=X     FOR ALL SELECTED ELEMENTS

 STORE AREA     FROM ITEM=VOLU  FOR ALL SELECTED ELEMENTS

 OPERATION SMUL  RESULT= DF        OPERAND1= AREA      OPERAND2= TAUY    
  FACTOR1=  1.0000       FACTOR2=  1.0000       CONSTANT=  0.0000    

 OPERATION SMUL  RESULT= DT        OPERAND1= DF        OPERAND2= RCEN    
  FACTOR1=  1.0000       FACTOR2=  1.0000       CONSTANT=  0.0000    

 SUM ALL THE ACTIVE ENTRIES IN THE ELEMENT TABLE 

 TABLE LABEL     TOTAL
 RCEN       3846.19    
 TAUY      -164990.    
 AREA       9.42478    
 DF        -570.369    
 DT        -948.573    

 *GET  NAME      AS  SSUM       DT         VALUE= -948.5732    

 PARAMETER TRQ1 =     948.5731765    

Med det indledende gæt på vridningen opnåede vi et moment på 948.573 [Nmm], men 1 000 [Nmm] var ønsket.


7.9) Endelige belastning

Vend tilbage til solution-modulet og lav en ny analyse med den endelige belastning.

For at finde den endelige vridning skal den indledende vridning skaleres for at kompensere for afvigelsen på momentet. Opnået 948.573 [Nmm], ønsket 1 000 [Nmm]:

θ2 = θ1·1000/948.573 = 0.5633183695E-03·1000/948.573 = 0.5938586326E-03 [1/mm].

Varmeudviklingen pr. masseenhed - ifølge analogien, som beskrevet i § 2, er varmeudviklingen pr. masseenhed "q" simpelthen to gange drejningen pr. længdeenhed:

q2 = 2·θ2 = 2·0.5938586326E-03 = 0.1187717265E-02.

Varmeudviklingen er jævnt fordelt (konstant) over tværsnittet, inkl. hullet:

fig.7.9.1
Fig. 7.9.1: Endelig belastning.


7.10) Bestemmelse af det endelige (reaktions) momentet

Fremgangsmåden er beskrevet grundigt i § 4.

Løs problemet og gå til post-processoren.

Det er det endelige (reaktions) momentet, i den solide del af tværsnittet, der skal findes, derfor udvælges disse elementer. Det er den termiske gradient i den radiale (X) retning der bruges:

fig.7.10.1
Fig. 7.10.1: Endelige radial gradient.

Kommandoerne er:

 csys,12 $ dsys,12 $ rsys,12          ! cyl. coord. sys. at centre of mass.
 etable,rcen,cent,x                   ! element centre radius.
 etable,tauy,tg,x                     ! therm. gradient, radial component.
 etable,area,volu                     ! volue (depth == 1) eq. area.
 smult,df,area,tauy                   ! tangential force pr. element.
 smult,dt,df,rcen                     ! torque pr. element.
 ssum                                 ! all etable values are summed up.
 *get,name,ssum,dt                    ! torque from sum to parametre "name".
 trq2= -name                          ! torque in the shaft. 

Og outputtet viser:

 ACTIVE COORDINATE SYSTEM SET TO     12  (CYLINDRICAL)

 DISPLAY COORDINATE SYSTEM SET TO     12  (CYLINDRICAL)

 RSYS KEY SET TO  12

 USE COORDINATE SYSTEM  12 FOR SOLUTION RESULTS

 STORE RCEN     FROM ITEM=CENT COMP=X     FOR ALL SELECTED ELEMENTS

 STORE TAUY     FROM ITEM=TG   COMP=X     FOR ALL SELECTED ELEMENTS

 STORE AREA     FROM ITEM=VOLU  FOR ALL SELECTED ELEMENTS

 OPERATION SMUL  RESULT= DF        OPERAND1= AREA      OPERAND2= TAUY    
  FACTOR1=  1.0000       FACTOR2=  1.0000       CONSTANT=  0.0000    

 OPERATION SMUL  RESULT= DT        OPERAND1= DF        OPERAND2= RCEN    
  FACTOR1=  1.0000       FACTOR2=  1.0000       CONSTANT=  0.0000    

 SUM ALL THE ACTIVE ENTRIES IN THE ELEMENT TABLE 

 TABLE LABEL     TOTAL
 RCEN       3846.19    
 TAUY      -173935.    
 AREA       9.42478    
 DF        -601.291    
 DT        -1000.00    

 *GET  NAME      AS  SSUM       DT         VALUE= -1000.000    

 PARAMETER TRQ2 =     999.9999997    

Med det endelige gæt på vridningen er det opnåede moment lige i øjet!


7.11) Stivheden af stangen

Med den generelle formel for vridningen af en stang:

θr = (TL)/(KG)

Hvor:
T ~ Moment.
L ~ Længde.
K ~ Stivhed.
G ~ Forskydningsmodul.

Ved at om-arrangere den generelle formel kan K findes til:

K = (TL)/(θrG) = T/(θG)

I dette eksempel er stivheden "det effektive torsions inertimoment" af stangen med et hult cirkulært tværsnit med diameterne Ø 4/2 og 0.5 [mm] excentricitet udregnet til [mm4]:

K = T/(θG) = 1000/(0.5938586326E-03·78846) = 21.3568 [mm4]

Den analytiske løsning giver K = 21.3738 [mm4] i god overensstemmelse med FEM værdien.


7.12) Spændinger

Et plot af temperaturen viser "formen" af potentialet, først løsningen for det fulde problem:

fig.7.12.1
Fig. 7.12.1: Potentialet "temperaturen", fulde problem.

Så et plot af temperaturen/potentialet, af den solide del af stangen:

fig.7.12.2
Fig. 7.12.2: Potentialet "temperaturen", solide del.

Et plot af den termiske gradient viser forskydningsspændingen:

fig.7.12.3
Fig. 7.12.3: Forskydningsspændingen "termisk gradient", fulde problem.

Kun spændinger i den fysiske (solide) del af røret er relevante:

fig.7.12.4
Fig. 7.12.4: Forskydningsspændingen "termisk gradient", solide del.

Max. forskydningsspænding kan aflæses til: τ = 124.828 ~ 125. [N/mm2].

Den max. forskydningsspænding kan endeligt konverteres til en ækivalent spænding med det traditionelt brugte sammenhæng, i dette tilfælde:
σ = τ·√3 = 124.828·√3 = 216.208 ~ 216. [N/mm2].

Den analytiske løsning giver τ = 122.287 [N/mm2] i o.k. overensstemmelse med FEM værdien.

Iterationen eller rettere, skalerings-proceduren kan vises som:

Størrelse Symbol Indledende Endelig Formel
Indledende stivhed Ip 22.5147
Drejning pr. enheds længde θ 0.563318 E-03 0.593859 E-03
Varmeudvikling pr. enheds masse Q 0.112664 E-02 0.118772 E-02
Moment T 948.573 1000.00 1000.00
Max. forskydningsspænding τ 118.408 124.827 122.287
Stivhed Keff 21.3568 21.3568 21.3738


Top Op Ned Bund

8) Hule profiler, eks. 2, nogen symmetri anvendt

Til at illustrere metoden har jeg valgt det måske mere normale eksempel med et hult firkantet rør eller profil. Symmetrien i problemet er udnyttet til at forenkle modelleringen og problemets størrelse.


8.1) Geometri

Det rektangulære rør har de ydre dimensioner på 200 × 100 [mm] og vægtykkelser på henholdsvis 5 og 10 [mm]:

fig.8.1.1
Fig. 8.1.1: Den fulde geometri.

Et plot af arealerne som de er modelleret i ANSYS®. Både den solide del af røret og hullet er modelleret - hullet skal elementinddeles, så det er nødvendigt også at modellere dette (argumentet herfor i § 7.5). Den 4 foldige symmetri er udnyttet til at begrænse modellen til en ¼ del af den fulde geometri:

fig.8.1.2
Fig. 8.1.2: Modellerede arealer.


8.2) Materialeegenskaber

Den eneste materialeegenskab, der er brug for, er varmeledningsevnen. Ifølge analogien, som beskrevet i § 2, er varmeledningsevnen "K" simpelthen det reciprokke forskydningsmodul "G".

K = 1/G

Hvis værdien af forskydningsmodulet ikke kendes, kan elasticitetsmodulet sammen med Poissons forhold bruges som udgangspunkt. Dette burde føre til konsistente resultater, hvis der sammenlignes med 3-D modeller.

G = E/(2(1+ν))

I et tilfælde med stål og enheder i N and mm, vil værdierne typisk være:

E = 205.e+3 [N/mm2].

ν = 0.3 [-].

G = E/(2(1+ν)) = (205.e+3)/(2(1+0.3)) = 78846. [N/mm2].

K = 1/G = 1/78846 = 0.1268292683E-04

Hvis K er defineret til denne værdi i ANSYS®, så vil output vise:

 PARAMETER K =    0.1268292683E-04 

Så er kommandoen for varmeledningsevne:

 mp,kxx,1,k 

Så vil output vise:

 MATERIAL         1     KXX  =  0.1268293E-04 

8.3) Elementinddeling

I dette eksempel er arealerne inddelt med det firkantede element, nr. 77 - ANSYS® laver et rigtigt godt arbejde med at inddele med firkanter i 2-D, så hvorfor ikke bruge dette element, hvor det er muligt, da det generelt er bedre/mere effektivt end trekanter. Hullet er også modelleret og det skal også elementinddeles (argumentet herfor i § 7.5):

fig.8.3.1
Fig. 8.3.1: Elementinddeling.

Den viste elementinddeling, med element-type nr. 77, har 2000 elementer, 6161 knudepunkter and derved også 6161 frihedsgrader. Selvom det er en relativt fin elementinddeling, er det stadig en lille model.


8.4) Forberedelse til belastnings- og moment-beregning

Inden pre-processoren forlades kan vi lige så godt forberede belastnings- og moment-beregning ved at bruge "asum" kommandoen og ekstrahere det polære inertimoment. Det er naturligt, og antaget hér, at geometrien er modelleret sådan, centrum af den fulde geometri er anbragt i centrum af det globale koordinatsystem. "fold" = 4:

 asum                                 ! sum area properties.
 *get,name,area,,ior,z                ! 1/4 polar moment of inertia.
 ip= name*fold                        ! total polar moment of inertia.

Og outputtet viser:

 PRINT GEOMETRY ITEMS ASSOCIATED WITH THE CURRENTLY SELECTED AREAS

 *** NOTE ***                            CP =       1.856   TIME= 11:06:38
 Density not associated with all selected areas.  Geometry items are     
 based on a unit density.                                                

   TOTAL NUMBER OF AREAS SELECTED =      2  (OUT OF      3 DEFINED)

   TOTAL SURFACE AREA OF ALL SELECTED AREAS =   950.00    

   TOTAL VOLUME OF ALL SELECTED AREAS =   950.00    

   CENTER OF MASS:  XC=  71.316      YC=  35.658      ZC=  0.0000    

                     *** MOMENTS OF INERTIA ***
           (BASED ON A UNIT DENSITY AND A UNIT THICKNESS)

         ABOUT ORIGIN     ABOUT CENTER OF MASS    PRINCIPAL
     IXX =   0.14329E+07       0.22501E+06       0.13251E+06
     IYY =   0.57317E+07       0.90002E+06       0.99252E+06
     IZZ =   0.71646E+07       0.11250E+07       0.11250E+07
     IXY =  -0.21494E+07       0.26645E+06
     IYZ =    0.0000            0.0000    
     IZX =    0.0000            0.0000    

     PRINCIPAL ORIENTATION VECTORS (X,Y,Z):
       0.945 -0.328  0.000    0.328  0.945  0.000    0.000  0.000  1.000
       (THXY=  -19.145  THYZ=    0.000  THZX=    0.000)

 *GET  NAME      FROM  AREA  ITEM=IOR  Z     VALUE=  7164583.33    

 PARAMETER IP =     28658333.33    

8.5) Definition af hullets randbetingelse

Mens vi stadig er i pre-processoren defineres hullets randbetingelser. Temperaturen skal kobles for disse knuder (argumentet herfor i § 7.5):

fig.8.5.1
Fig. 8.5.1: Koblede frihedsgrader (temperatur).


8.6) Understøtning

Understøtningen består simpelthen i at definere en temperatur på nul langs den ydre rand af tværsnittet.

fig.8.6.1
Fig. 8.6.1: Understøtning (og koblede frihedsgrader).

Antallet af aktive frihedsgrader bliver gennem understøtningen, og den foregående kobling af frihedsgrader, reduceret moderat (til 5920), men det er nok uden betydning.


8.7) Indledende belastning

Lad momentet være 10.e+6 = 10 000 000 [Nmm].

Da formlen for vridningen af en cirkulær stang er:

θr = (TL)/(IpG)

Hvor:
T ~ Moment.
L ~ Længde.
Ip ~ Polært inertimoment.
G ~ Forskydningsmodul.

Så er udtrykket for vridningen af en cirkulær stang pr. enheds længde:

θ = T/(IpG)

Med:
T = 10.e+6 = 10 000 000 [Nmm]. Det givne moment.
Ip = 28 658 333 [mm4]. Polære inertimoment som beskrevet i § 8.4.
G = 78846. [N/mm2]. Forskydningsmodulet af stål, som beskrevet i § 8.2.

Det første gæt på vridningen af stangen er det samme, som hvis stangen var cirkulær - dette er ikke tilfældet, men det giver et første gæt som giver fysisk mening og en værdi der har en rimelig værdi. Alternativt kunne en enhedsværdi bruges. I den sidste ende skulle det ikke gøre nogen forskel, da den indledende belastning senere bliver skaleret så det endelige resultat bliver rigtigt.

Værdierne nedenfor er kun første gæt og bliver betegnet med indeks 1.

Vridningen af en cirkulær stål stang pr. enhedslængde er:

θ1 = 10000000/(28658333·78846) = 0.4425563302E-05 [1/mm].

Varmeudviklingen pr. enheds masse - ifølge analogien, som beskrevet i § 2, er varmeudviklingen pr. enheds masse "q" simpelthen to gange vridningen:

q1 = 2·θ1 = 2·0.4425563302E-05 = 0.8851126604E-05

Varmeudviklingen er jævnt fordelt over tværsnittet (konstant), inkl. hullet:

fig.8.7.1
Fig. 8.7.1: Indledende belastning.


8.8) Bestemmelse af det indledende (reaktions) momentet

Fremgangsmåden er beskrevet grundigt i § 4.

Løs problemet og gå til post-processoren.

Det er det indledende (reaktions) momentet, i den solide del af tværsnittet, der skal findes, derfor udvælges disse elementer. Det er den termiske gradient i den radiale (X) retning der bruges:

fig.8.8.1
Fig. 8.8.1: Indledende radiale gradient.

Kommandoerne er (fold = 4):

 csys,1 $ dsys,1 $ rsys,1             ! cyl. coord. sys.
 etable,rcen,cent,x                   ! element centre radius.
 etable,tauy,tg,x                     ! therm. gradient, radial component.
 etable,area,volu                     ! volue (depth == 1) eq. area.
 smult,df,area,tauy                   ! tangential force pr. element.
 smult,dt,df,rcen                     ! torque pr. element.
 ssum                                 ! all etable values are summed up.
 *get,name,ssum,dt                    ! torque from sum to parametre "name".
 trq1= -name*fold                     ! torque in the shaft. 

Og outputtet viser:

 ACTIVE COORDINATE SYSTEM SET TO      1  (CYLINDRICAL) Z- CYL. AXIS

 DISPLAY COORDINATE SYSTEM SET TO      1  (CYLINDRICAL)

 RSYS KEY SET TO   1

 USE COORDINATE SYSTEM   1 FOR SOLUTION RESULTS

 STORE RCEN     FROM ITEM=CENT COMP=X     FOR ALL SELECTED ELEMENTS

 STORE TAUY     FROM ITEM=TG   COMP=X     FOR ALL SELECTED ELEMENTS

 STORE AREA     FROM ITEM=VOLU  FOR ALL SELECTED ELEMENTS

 OPERATION SMUL  RESULT= DF        OPERAND1= AREA      OPERAND2= TAUY    
  FACTOR1=  1.0000       FACTOR2=  1.0000       CONSTANT=  0.0000    

 OPERATION SMUL  RESULT= DT        OPERAND1= DF        OPERAND2= RCEN    
  FACTOR1=  1.0000       FACTOR2=  1.0000       CONSTANT=  0.0000    

 SUM ALL THE ACTIVE ENTRIES IN THE ELEMENT TABLE 

 TABLE LABEL     TOTAL
 RCEN       99006.9    
 TAUY      -20083.6    
 AREA       950.000    
 DF        -15538.7    
 DT       -0.122991E+07

 *GET  NAME      AS  SSUM       DT         VALUE= -1229913.    

 PARAMETER TRQ1 =     4919650.330    

Med det indledende gæt på vridningen opnåede vi et moment på 4 918 274 [Nmm], men 10 000 000 [Nmm] var ønsket.


8.9) Endelige belastning

Vend tilbage til solution-modulet og lav en ny analyse med den endelige belastning.

For at finde den endelige vridning skal den indledende vridning skaleres for at kompensere for afvigelsen på momentet. Opnået 4 918 274 [Nmm], ønsket 10 000 000 [Nmm]:

θ2 = θ1·10000000/4918274 = 0.4425563302E-05·10000000/4919650 = 0.8995686695E-05 [1/mm].

Varmeudviklingen pr. masseenhed - ifølge analogien, som beskrevet i § 2, er varmeudviklingen pr. masseenhed "q" simpelthen to gange drejningen pr. længdeenhed:

q2 = 2·θ2 = 2·0.8995686695E-05 = 0.1799137339E-04.

Varmeudviklingen er jævnt fordelt (konstant) over tværsnittet, inkl. hullet:

fig.8.9.1
Fig. 8.9.1: Endelig belastning.


8.10) Bestemmelse af det endelige (reaktions) momentet

Fremgangsmåden er beskrevet grundigt i § 4.

Løs problemet og gå til post-processoren.

Det er det endelige (reaktions) momentet, i den solide del af tværsnittet, der skal findes, derfor udvælges disse elementer. Det er den termiske gradient i den radiale (X) retning der bruges:

fig.8.10.1
Fig. 8.10.1: Endelige radial gradient.

Kommandoerne er (fold = 4):

 csys,1 $ dsys,1 $ rsys,1             ! cyl. coord. sys.
 etable,rcen,cent,x                   ! element centre radius.
 etable,tauy,tg,x                     ! therm. gradient, radial component.
 etable,area,volu                     ! volue (depth == 1) eq. area.
 smult,df,area,tauy                   ! tangential force pr. element.
 smult,dt,df,rcen                     ! torque pr. element.
 ssum                                 ! all etable values are summed up.
 *get,name,ssum,dt                    ! torque from sum to parametre "name".
 trq2= -name*fold                     ! torque in the shaft. 

Og outputtet viser:

 ACTIVE COORDINATE SYSTEM SET TO      1  (CYLINDRICAL) Z- CYL. AXIS

 DISPLAY COORDINATE SYSTEM SET TO      1  (CYLINDRICAL)

 RSYS KEY SET TO   1

 USE COORDINATE SYSTEM   1 FOR SOLUTION RESULTS

 STORE RCEN     FROM ITEM=CENT COMP=X     FOR ALL SELECTED ELEMENTS

 STORE TAUY     FROM ITEM=TG   COMP=X     FOR ALL SELECTED ELEMENTS

 STORE AREA     FROM ITEM=VOLU  FOR ALL SELECTED ELEMENTS

 OPERATION SMUL  RESULT= DF        OPERAND1= AREA      OPERAND2= TAUY    
  FACTOR1=  1.0000       FACTOR2=  1.0000       CONSTANT=  0.0000    

 OPERATION SMUL  RESULT= DT        OPERAND1= DF        OPERAND2= RCEN    
  FACTOR1=  1.0000       FACTOR2=  1.0000       CONSTANT=  0.0000    

 SUM ALL THE ACTIVE ENTRIES IN THE ELEMENT TABLE 

 TABLE LABEL     TOTAL
 RCEN       99006.9    
 TAUY      -40823.2    
 AREA       950.000    
 DF        -31585.1    
 DT       -0.250000E+07

 *GET  NAME      AS  SSUM       DT         VALUE= -2500000.    

 PARAMETER TRQ2 =     9999999.996    

Med det endelige gæt på vridningen er det opnåede moment lige i øjet!


8.11) Stivheden af røret

Med den generelle formel for vridningen af en stang:

θr = (TL)/(KG)

Hvor:
T ~ Moment.
L ~ Længde.
K ~ Stivhed.
G ~ Forskydningsmodul.

Ved at om-arrangere den generelle formel kan K findes til:

K = (TL)/(θrG) = T/(θG)

I dette eksempel er stivheden "det effektive torsions inertimoment" af det rektangulære rør med de ydre dimensioner på 200 × 100 [mm] og vægtykkelser på henholdsvis 5 og 10 [mm] udregnet til [mm4]:

K = T/(θG) = 10000000/(0.8995686695E-05·78846) = 14 098 898. [mm4]

Den analytiske løsning giver K = 13 718 000 [mm4] i relativt god overensstemmelse med FEM værdien.


8.12) Spændinger

Et plot af temperaturen viser "formen" af potentialet, først løsningen for det fulde problem:

fig.8.12.1
Fig. 8.12.1: Potentialet "temperaturen", fulde problem.

Så et plot af temperaturen/potentialet, af den solide del af røret:

fig.8.12.2
Fig. 8.12.2: Potentialet "temperaturen", solide del.

Et plot af den termiske gradient viser forskydningsspændingen:

fig.8.12.3
Fig. 8.12.3: Forskydningsspændingen "termisk gradient", fulde problem.

Kun spændinger i den fysiske (solide) del af røret er relevante:

fig.8.12.4
Fig. 8.12.4: Forskydningsspændingen "termiske gradient", solide del.

Max. forskydningsspænding kan aflæses til: τ = 99.527 ~ 100. [N/mm2], men denne værdi giver ikke megen mening, da den repræsenterer en singularitet og vil vokse til uendelige værdier med stigende elementtæthed - som forudsagt i formelsamlingen. Informationen om, at der findes en spændingskoncentration hér er imidlertid vigtig.

Spændingen langs centerlinien af den lange, tynde side:

fig.8.12.5
Fig. 8.12.5: Spændingen langs centerlinien af den lange, tynde side.

Spændingen langs centerlinien af den korte, tykke side:

fig.8.12.6
Fig. 8.12.6: Spændingen langs centerlinien af den korte, tykke side.

Spændingsvariationen på tværs af de to siders centerlinier er réelt lineære og middel-spændingen kan derfor nemt findes som gennemsnittet mellem max. og min. værdierne:

Lange, tynde side: τavg = (58.743 + 51.65)/2 = 55.2, formel: 57.0
Korte, tykke side: τavg = (34.691 + 20.506)/2 = 27.6, formel: 28.5

God overensstemmelse mellem FEM værdier og formler.

Iterationen eller rettere, skalerings-proceduren kan vises som:

Størrelse Symbol Indledende Endelig Formel
Indledende stivhed Ip 28658333.
Drejning pr. enheds længde θ 0.442556 E-05 0.899569 E-05
Varmeudvikling pr. enheds masse Q 0.885113 E-05 0.179914 E-04
Moment T 4919650. 10000000. 10000000.
Max. forskydningsspænding, tynde side τa 27.1547 55.1965 56.9801
Max. forskydningsspænding, tykke side τb 13.5775 27.5985 28.4900
Stivhed Keff 14098898. 14098898. 13718000.

Ligheden med idealt flow kan genkendes i fig. 8.12.1 and fig. 8.12.2 ovenfor. Som en konsekvens heraf må produktet af middel forskydningsspænding (middel flow hastighed) og side tykkelse være det samme for de to sider, med formelværdierne:
τa · ta = 56.9801 · 5 = 284.905
τb · tb = 28.4900 · 10 = 284.900

Den samme øvelse med FEM-værdierne giver:
τa · ta = 55.1965 · 5 = 275.983
τb · tb = 27.5985 · 10 = 275.985


8.13) Alternativ udformning

Singulariteten i spændingsplottet i ovenstående afsnit, fig. 8.12.4 kan fjernes med en stor indvendig runding. Det er kun almindelig sund fornuft og er også nævnt i formelsamlingen.

Vist nedenfor er en udformning med et indvendigt hjørne med en rundingsradius på 9 [mm]. En radius af denne størrelse flytter positionen med max. spænding væk fra hjørnet og ind på den lige, udvendige side af den tynde side:

fig.8.13.1
Fig. 8.13.1: Forskydningsspændingen "termiske gradient", solide del.

Som det blev vist i § 6.11, kan plottet ekspanderes til at vise den fulde geometri. Kommandoerne for denne ekspansion er:

 /expand,1,rect,half,0,1.e-4,0,1,rect,half,1.e-4,0,0 

Spændingsplottet af det fulde tværsnit af røret ser så sådan ud:

fig.8.13.2
Fig. 8.13.2: Forskydningsspændingen "termiske gradient", fuldt tværsnit.



Top Op Ned Bund

Oversigt